【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,ABCD的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣6,9),B(0,9),C(3,0),D(﹣3,0),拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)過(guò)A、B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為M.
(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)C,求拋物線的解析式;
(2)若拋物線的頂點(diǎn)M落在△ACD的內(nèi)部(包括邊界),求a的取值范圍;
(3)若a<0,連結(jié)CM交線段AB于點(diǎn)Q(Q不與點(diǎn)B重合),連接DM交線段AB于點(diǎn)P,設(shè)S1=S△ADP+S△CBQ , S2=S△MPQ , 試判斷S1與S2的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得: ,
解得:a=﹣ ,b=﹣2,c=9.
將a=﹣ ,b=﹣2,c=9代入得y=﹣ ﹣2x+9.
(2)解:如圖1所示:連接AC交直線x=﹣3與點(diǎn)E.
∵點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等,
∴點(diǎn)M在直線x=﹣3上.
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入得: ,
解得:k=﹣1,b=3.
將k=﹣1,b=3代入得:y=﹣x+3.
∵將x=﹣3代入得;y=﹣(﹣3)+3=6.
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣3,6).
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、E三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a(x+3)2+6,將x=0,y=9代入得:9a+6=9.
解得:a= .
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a(x+3)2,將x=0,y=9代入得:9a=9.
解得:a=1.
∴ ≤a≤1.
(3)解:如圖2所示:當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí).
∵DM為拋物線的對(duì)稱軸,
∴DM是AB的垂直平分線.
∴AP=PB.
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴∠A=∠PBM.
在△APD和△BPM中, ,
∴△APD≌△BPM.
∴S△APD=S△PMB.
∵點(diǎn)Q在AB上且與點(diǎn)B不重合,
∴PQ<PB.
∴S△APD>S△PMB.
∴S△ADP+S△CBQ>S△MPQ.
∴S1>S2.
【解析】(1)利用待定系數(shù)法,將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組,從而可解得a、b、c的值,從而可求得拋物線的解析式。
(2)點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等,因此拋物線的對(duì)稱軸為x=-3,連接AC,交x=-3與點(diǎn)E,先求得AC的解析式,然后求得點(diǎn)E的坐標(biāo),由點(diǎn)M在△ACD的內(nèi)部,從而可知點(diǎn)M在線段ED上,然后求得經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、D和點(diǎn)A、B、E的解析式,從而可求得a的范圍。
(3)先根據(jù)題意畫(huà)出圖形,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí),可證明△ADP≌△PBM,由于點(diǎn)Q與點(diǎn)B不重合,故此△ADP的面積>△PBM的面積,從而可知判斷出S1與S2的大小關(guān)系。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法;若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn),則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn),并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積.
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【題目】如圖,小明在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上擲鉛球時(shí),鉛球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y=﹣ (x+1)(x﹣7).鉛球落在A點(diǎn)處,則OA長(zhǎng)=米.
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【題目】如圖,在數(shù)軸上原點(diǎn)為O,點(diǎn)P表示的數(shù)為30,點(diǎn)Q表示的數(shù)為120,甲、乙兩只小蟲(chóng)分別從O,P兩點(diǎn)出發(fā),沿直線勻速爬向點(diǎn)Q,最終達(dá)到點(diǎn)Q.已知甲每分鐘爬行60個(gè)單位長(zhǎng)度,乙每分鐘爬行30個(gè)單位長(zhǎng)度,則在此過(guò)程中,甲、乙兩只小蟲(chóng)相距10個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)的爬行時(shí)間為_________分鐘.
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【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為 1 的正方形網(wǎng)格中,三角形 ABC 中任意一點(diǎn) P(x0,y0)經(jīng)平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 P1(x0-4,y0+3),已知 A(0,2),B(4,0),C(-1,-1),將三角形 ABC 作同樣的平移得到三角形 A1B1C1
(1)直接寫(xiě)出坐標(biāo):A1( , ),B1( , ),C1( , );
(2)三角形 A1B1C1 的面積為 ;
(3)已知點(diǎn) P 在 y 軸上,且三角形 PAC 的面積等于三角形 ABC 面積的一半,求 P 點(diǎn)坐標(biāo).
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【題目】某商店銷售兩種商品,每件的售價(jià)分別為元、元,五一期間,該商店決定對(duì)這兩種商品進(jìn)行促銷活動(dòng),如圖所示,若小紅打算到該商店購(gòu)買件商品和件商品,根據(jù)以上信息,請(qǐng):
(1)分別用含的代數(shù)式表示按照方案一和方案二所需的費(fèi)用和;
(2)就的不同取值,請(qǐng)說(shuō)明選擇那種方案購(gòu)買更實(shí)惠(兩種優(yōu)惠方案不能同時(shí)享受)
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【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上,其中,C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2).
(1)寫(xiě)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo):A( , )、B( , );
(2)求△ABC的面積;
(3)將△ABC先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到△A′B′C′,畫(huà)出△A′B′C′,寫(xiě)出A′、B′、C′三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo).
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(1)若 ,求 的半徑長(zhǎng);
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