Question

3．（1）如圖①，在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，過點O作直線EF分別交AD、BC于點E、F，求證：OE=OF．
（2）在圖①中，過點O作直線GH分別交AB、CD于點G、H，且滿足GH⊥EF，連結EG、GF、FH、HE．如圖②，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，
若平行四邊形ABCD變?yōu)榫匦螘r，四邊形EGFH是菱形；
若平行四邊形ABCD變?yōu)榱庑螘r，四邊形EGFH是菱形；
若平行四邊形ABCD變?yōu)檎�方形時，四邊形EGFH是正方形．

Answer 1

分析 （1）由于平行四邊形對角線的交點是它的對稱中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷出EGFH的性質；
（2）當EF⊥GH時，平行四邊形EGFH的對角線互相垂直平分，故四邊形EGFH是菱形；
（3）若平行四邊形ABCD變?yōu)榫匦�，即AC=BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響，故結論同（2）；
若平行四邊形ABCD變?yōu)榱庑危�即AC⊥BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響，故結論同（2）；
當四邊形ABCD是正方形，則對角線相等且互相垂直平分；可通過證△BOG≌△COF，得OG=OF，從而證得菱形的對角線相等，根據對角線相等的菱形是正方形即可判斷出EGFH的形狀．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BCA}\\{∠AOE=∠COE}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴EO=FO；

（2）解：四邊形EGFH是菱形；
理由：如圖②：
由（1）可知，OE=OF，
同理可得：OG=OH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，
又∵EF⊥GH，
∴四邊形EGFH是菱形；

（3）解：若平行四邊形ABCD變?yōu)榫匦螘r，四邊形EGFH是菱形；
理由：由（2）知四邊形EGFH是菱形，
當AC=BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響；
故答案為：菱形；

若平行四邊形ABCD變?yōu)榱庑螘r，四邊形EGFH是菱形；
理由：由（2）知四邊形EGFH是菱形，
當AC⊥BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響；
故答案為：菱形；

若平行四邊形ABCD變?yōu)檎�方形時，四邊形EGFH是四邊形EGFH是正方形；
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°
∴∠BOG=∠COF；
在△BOG和△COF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOG=∠COF}\\{BO=CO}\\{∠GBO=∠FCO}\end{array}\right.$，
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG=OF，
同理可得：EO=OH，
∴GH=EF；
由（3）知四邊形EGFH是菱形，
又EF=GH，
∴四邊形EGFH是正方形．
故答案為：正方形．

點評 此題主要考查了四邊形綜合、平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定和性質以及全等三角形的判定和性質；熟練掌握各特殊四邊形的聯(lián)系和區(qū)別是解答此類題目的關鍵．