Question

如圖①，已知：四邊形OABC中，O為直角坐標系的原點，A點坐標為（1，4），B點在x軸的正半軸上，C點坐標為（8，-4），動點P從點O出發(fā)，依次沿線段OA、AB、BC向點C移動．設P點移動的路徑為Z，△POC的面積S隨著Z的變化而變化的圖象如圖②所示（其中線段DE∥x軸）．

（1）請你確定B點的坐標；
（2）當動點P是經過點O、B的拋物線的頂點時，
①求此拋物線的解析式；
②在x軸上是否存在點M，使△PBM與△OBC相似？若存在，請求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過C作CQ⊥x軸于Q點，根據圖（2）可以得到：當P運動到B時，三角形POC的面積等于三角形BOC的面積，并由此得到線段OB的長，從而求得點B的坐標；
（2）利用拋物線經過O、B點，求得拋物線的對稱軸，由此得到對稱軸必與邊AB相交，并由此得到拋物線的解析式，令x=

9

2

求得y的值后即可得到拋物的頂點坐標，然后利用頂點式求得拋物線的解析式即可；

解答：（1）解：過C作CQ⊥x軸于Q點，
由圖（2）得：當P運動到B時，
∵S△POC=S△BOC=18=

1

2

•OB•CQ，
即18=

1

2

•OB•4∴OB=9∴B坐標(9，0)，

（2）①拋物線經過O、B點，
∴拋物線的對稱軸為x=

9

2

，
∴對稱軸必與邊AB相交，
由題意可知，拋物線的頂點在直線AB上且也在對稱軸上，
設直線AB的表達式為y=kx+b，
則可得方程

k+b=4 9k+b=0

，
得

k=- 1 2 b= 9 2

，
∴y=-

1

2

x+

9

2

，
又由方程組

y=- 1 2 x+ 9 2 x= 9 2

，
解之得

x= 9 2 y= 9 4

，
∴拋物線的頂點坐標為(

9

2

，

9

4

)，
設拋物線的解析式為y=a(x-

9

2

)2+

9

4

，
把點O的坐標代入y=a(x-

9

2

)2+

9

4

得，a=-

1

9

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

9

(x-

9

2

)2+

9

4

=-

1

9

x2+x，
②設在x軸上存在點M．使△PBM與△OBC相似，
∵∠PBM=∠COB，BP=

( 9 2 )2+( 9 4 )2

=

9

4

5

，OC=

82+42

=4

5

，
∴(i)當

BP

OB

=

BM

OC

時，△PBM△OBC 即

9 4 5

9

=

BM

4 5

，BM=5，
∴M（4，0），
∴(ii)當

BP

OC

=

BM

OB

時，△PBC∽△COB，
即

9 4 5

4 5

=

BM

9

，BM=

81

16

，
∴M(

63

16

，0)，
所以在x軸上存在點M（4，0）和(

63

16

，0) 使△PBM∽△OBC相似．

點評：本題考查二次函數的綜合運用，通過已知點來確定函數式，和通過相似三角形的性質確定點的坐標，以及通過函數式和取值范圍求得最大值．