Question

【題目】在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點叫做和諧點。例如，圖中過點p分別作x軸，y軸的垂線，與坐標軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點p是和諧點。

判斷點M（1,2），N（4,4）是否為和諧點，并說明理由；

若和諧點P（a,3）在直線y=-x+b（b為常數）上，求a,b的值．

Answer 1

【答案】（1）∵點M不是和諧點，點N是和諧點；（2）a=6，b=9或a= -6，b= -3．

【解析】（1）根據和諧點的定義，利用矩形的面積和周長公式進行證明即可；
（2）當a>0時，根據(a+3)×2=3a，求出a，進一步求出b；當a<0時，根據(-a+3)×2=-3a，求出a，進一步求出b．

解：（1）∵1×2≠2（1+2），4×4=2×（4+4），
∴點M不是和諧點，點N是和諧點．
（2）由題意得，①當a>0時，（a+3）×2=3a，
∴a=6，
∴P（6，3），
∵點P在直線y=-x+b上，
∴代入得3=-6+b，
解得，b=9．

②當a<0時， (-a+3)×2=-3a，

∴a=-6，

點P（a，3）在直線y=-x+b上，代入得：b=-3，

∴a=6，b=9或a= -6，b= -3．