Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在⊙O外，OC⊥OA，并交AB于點(diǎn)P，且CP=CB．
（1）判斷CB與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若⊙O的半徑為3，OP=1，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA

∵CP=CB

∴∠CPB=∠CBP

在Rt△AOP中

∠A+∠APO=90°

∴∠OBA+∠CBP=90° 即：∠OBC=90°

∴OB⊥CB

又∵OB是半徑

∴CB與⊙O相切

（2）解：設(shè)BC=CP=x

在Rt△OBC中

OC2=BC2+OB2

即：（x+1）2=x2+32

解之得：x=4，即：CP=4

在Rt△OBC中

AP= = =

作CH⊥AB于H

∵∠AOP=∠CHP=90°，∠APO=∠CPH

∴△OAP∽△HCP

∴ = ，即 = ，

∴HP=

∵CB=CP，CH⊥PB

∴PB=2PH=

∴AB=AP+PB= ．

【解析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得∠CPB=∠CBP，根據(jù)垂直的定義得∠OBC=90°，即OB⊥CB，則CB與⊙O相切；（2）設(shè)BC=CP=x，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得出CP=4，再在Rt△OBC中，由勾股定理得出AP，作CH⊥AB，可證明△OAP∽△HCP，得出HP，由垂徑定理得出PB=2PH，即可得出AB=AP+PB的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和垂徑定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．