Question

請你利用直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)（x₁，y₁）、（x₂，y₂）間的距離公式解答下列問題：
已知：反比例函數(shù)與正比例函數(shù)y=x的圖象交于A、B兩點(diǎn)（A在第一象限），點(diǎn)F₁（-2，-2）、F₂（2，2）在直線y=x上．設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）是反比例函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，記點(diǎn)P與F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之差d=|P_^F1-P_^F2|．試比較線段AB的長度與d的大小，并由此歸納出雙曲線的一個(gè)重要定義（用簡練的語言表述）．

Answer 1

解：解由和y=x組成的方程組可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，（，）、（，），線段AB的長度=4
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，
∴y₀=
∴PF₁===||，
PF₂===||，
∴d=|PF₁-PF₂|=|||-|||，
當(dāng)x₀＞0時(shí)，d=4；當(dāng)x₀＜0時(shí)，d=4．
因此，無論點(diǎn)P的位置如何，線段AB的長度與d一定相等．
由此可知：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差（取正值）是定值的點(diǎn)的集合（軌跡）是雙曲線．
分析：解由和y=x組成的方程組可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，）、（，），利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出線段AB的長度，由P為反比例函數(shù)y=上一點(diǎn)可得出x₀與y₀的關(guān)系式，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得出PF₁、PF₂的長，代入d=|P_^F1-P_^F2|即可得到x₀的表達(dá)式，再根據(jù)x₀的取值范圍即可求出d的長，進(jìn)而得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練利用兩點(diǎn)間的距離公式是解答此題的關(guān)鍵．