Question

【題目】在矩形ABCD中，P是AD的中點，連BP，過A作BP的垂線，垂足為F，交BD于E，交CD于G．

（1）若矩形ABCD是正方形，如圖1，

①求證：AG＝BP．

②的值為　 　．

（2）類比：如圖2，在矩形ABCD中，若2AB＝3AD，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②；（2）．

【解析】

（1）①由題意可證△ABP≌△ADG，可得AG＝BP；

②由△ABP≌△ADG可得AP＝DG＝AB，根據(jù)平行線分線段成比例可得的值；

（2）由題意可證△ABP∽△ADG，可得2AP＝3DG，即可得AD＝3DG，2AB＝9DG，根據(jù)平行線分線段成比例可得的值．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BAD＝∠ADC＝90° AB＝AD

∴∠BAG+∠DAG＝90°

∵AG⊥BP

∴∠BAG+∠ABP＝90°

∴∠DAG＝∠ABP且AB＝AD，∠BAD＝∠ADG

∴△BAP≌△ADG

∴AG＝BP

（2）∵△BAP≌△ADG

∴AP＝DG

∵點P是AD中點

∴AP＝AD＝AB

∴DG＝AB

∵AB∥CD

故答案為

（3）∵四邊形ABCD是矩形

∴∠BAD＝∠ADC＝90° AB∥CD

∴∠BAG+∠DAG＝90°

∵AG⊥BP

∴∠BAG+∠ABP＝90°

∴∠DAG＝∠ABP，∠BAD＝∠ADG

∴△BAP∽△ADG

∵2AB＝3AD

∴2AP＝3DG

∵P點是AD中點

∴AD＝2AP

∴AD＝3DG

∵2AB＝3AD

∴2AB＝9DG

∵AB∥CD