如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,以AD為直徑的半圓D與BC相切。

(1)求證:OB⊥OC;
(2)若AD=12,∠BCD=60°,⊙O1與半⊙O外切,并與BC、CD相切,求⊙O1的面積。
(1)證明見解析(2)4π
(1)∵AB,BC,CD均與半圓O相切,
∴∠ABO=∠CBO,∠DCO=∠BCO.
又AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°.
∴2∠CBO+2∠BCO=180°,于是∠CBO+∠BCO=90°,
∴∠BOC=180°-(∠CBO+∠BCO)=180°-90°=90°,
即OB⊥OC.                                     ………………………………4分
(2)設(shè)CD切⊙O1于點M,連接O1M,
則O1M⊥CD.
設(shè)⊙O1的半徑為r.
∵∠BCD=60°,且由(1)知∠BCO=∠O1CM,
∴∠O1CM=30°.
在Rt△O1CM中,CO1=2O1M=2r.在Rt△OCD中,OC=2OD=AD=12.
∵⊙O1與半圓D外切,
∴OO1=6+r,于是,由OO1+O1C=OC,即6+r+2r=12,
解得r=2,
因此⊙O1的面積為4π.                           ………………………………10分
(1)證明兩個銳角的和等于90°即可;
(2)求得⊙O1的半徑后代入圓的面積公式求得其面積即可.
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