【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+2ax+c(其中a、c為常數(shù),且a<0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)B,此拋物線頂點(diǎn)C到x軸的距離為4.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)求∠CAB的正切值;
(3)如果點(diǎn)P是x軸上的一點(diǎn),且∠ABP=∠CAO,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2);(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,0)
【解析】
(1) 先求得拋物線的對(duì)稱軸方程, 然后再求得點(diǎn)C的坐標(biāo),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)2+4,將點(diǎn) (-3, 0) 代入求得a的值即可;
(2) 先求得A、 B、 C的坐標(biāo), 然后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得到BC、AB,AC的長(zhǎng),然后依據(jù)勾股定理的逆定理可證明∠ABC=90°,最后,依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可;
(3) 連接BC,可證得△AOB是等腰直角三角形,△ACB∽△BPO,可得代入個(gè)數(shù)據(jù)可得OP的值,可得P點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)由題意得,拋物線y=ax2+2ax+c的對(duì)稱軸是直線,
∵a<0,拋物線開(kāi)口向下,又與x軸有交點(diǎn),
∴拋物線的頂點(diǎn)C在x軸的上方,
由于拋物線頂點(diǎn)C到x軸的距離為4,因此頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(﹣1,4).
可設(shè)此拋物線的表達(dá)式是y=a(x+1)2+4,
由于此拋物線與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣3,0),可得a=﹣1.
因此,拋物線的表達(dá)式是y=﹣x2﹣2x+3.
(2)如圖1,
點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,3).連接BC.
∵AB2=32+32=18,BC2=12+12=2,AC2=22+42=20,
得AB2+BC2=AC2.
∴△ABC為直角三角形,∠ABC=90°,
所以tan∠CAB=.
即∠CAB的正切值等于.
(3)如圖2,連接BC,
∵OA=OB=3,∠AOB=90°,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴∠BAP=∠ABO=45°,
∵∠CAO=∠ABP,
∴∠CAB=∠OBP,
∵∠ABC=∠BOP=90°,
∴△ACB∽△BPO,
∴,
∴,OP=1,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4).
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中,畫(huà)出△ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1;
(2)以點(diǎn)O為位似中心,將△ABC縮小為原來(lái)的,得到△A2B2C2,請(qǐng)?jiān)趫D中y軸右側(cè),畫(huà)出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一茶葉專賣店經(jīng)銷某種品牌的茶葉,該茶葉的成本價(jià)是80元/kg,銷售單價(jià)不低于120元/kg.且不高于180元/kg,經(jīng)銷一段時(shí)間后得到如下數(shù)據(jù):
銷售單價(jià)x(元/kg) | 120 | 130 | … | 180 |
每天銷量y(kg) | 100 | 95 | … | 70 |
設(shè)y與x的關(guān)系是我們所學(xué)過(guò)的某一種函數(shù)關(guān)系.
(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí),銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)和反比例函數(shù)y=(m≠0)分別交于點(diǎn)A(4,1),B(﹣1,a)
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫出kx+b>的x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有三點(diǎn):(0,﹣2),(1,﹣1),(2.17,0.37).則過(guò)這三個(gè)點(diǎn)_____(填“能”或“不能”)畫(huà)一個(gè)圓,理由是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小翔在如圖1所示的場(chǎng)地上勻速跑步,他從點(diǎn)A出發(fā),沿箭頭所示方向經(jīng)過(guò)點(diǎn)B跑到點(diǎn)C,共用時(shí)30秒.他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小翔的跑步過(guò)程.設(shè)小翔跑步的時(shí)間為t(單位:秒),他與教練的距離為y(單位:米),表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示,則這個(gè)固定位置可能是圖1中的( )
A. 點(diǎn)M B. 點(diǎn)N C. 點(diǎn)P D. 點(diǎn)Q
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=x與雙曲線y=交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.
(1)求k的值;
(2)若雙曲線y=上點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3,求△AOC的面積;
(3)在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)M,在直線AB上有一點(diǎn)P,在雙曲線y=上有一點(diǎn)N,若以O(shè)、M、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是有一組對(duì)角為60°的菱形,請(qǐng)寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=6cm,BC=7cm,∠ABC=30°,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以1cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng),點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā),以2cm/s的速度向C點(diǎn)移動(dòng).如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),經(jīng)過(guò)幾秒后△PBQ的面積等于4cm2?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某小學(xué)學(xué)生較多,為了便于學(xué)生盡快就餐,師生約定:早餐一人一份,一份兩樣,一樣一個(gè),食堂師傅在窗口隨機(jī)發(fā)放(發(fā)放的食品價(jià)格一樣),食堂在某天早餐提供了豬肉包、面包、雞蛋、油餅四樣食品.
(1)按約定,“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個(gè)油餅”是 事件;(可能,必然,不可能)
(2)請(qǐng)用列表或樹(shù)狀圖的方法,求出小張同學(xué)該天早餐剛好得到豬肉包和油餅的概率.
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