Question

【題目】已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣4，0），B（1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；

（3）E為（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，﹣2）或（，﹣2）．

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），所以可以設(shè)拋物線為y=﹣（x+4）（x﹣1），展開(kāi)即可解決問(wèn)題．

（2）先證明∠ACB=90°，點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)P，求出直線AC解析式，再求出過(guò)點(diǎn)B平行AC的直線的解析式，利用方程組即可解決問(wèn)題．

（3）分AC為平行四邊形的邊，AC為平行四邊形的對(duì)角線兩種切線討論即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）拋物線的解析式為y=﹣（x+4）（x﹣1），即；

（2）存在．

當(dāng)x=0，y═=2，則C（0，2），

∴OC=2，

∵A（﹣4，0），B（1，0），

∴OA=4，OB=1，AB=5，

當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，

∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25

∴AC2+BC2=AB2

∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0）；

當(dāng)∠PBC=90°時(shí)，PB∥AC，如圖1，

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，

把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得，

∴直線AC的解析式為y=x+2，

∵BP∥AC，

∴直線BP的解析式為y=x+p，

把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣，

∴直線BP的解析式為y=x﹣，

解方程組得或，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，﹣3）；

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；

（3）存在點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，0），F(xiàn)（n，）

①當(dāng)AC為邊，CF1∥AE1，易知CF1=3，此時(shí)E1坐標(biāo)（﹣7，0），

②當(dāng)AC為邊時(shí)，AC∥EF，易知點(diǎn)F縱坐標(biāo)為﹣2，

∴=﹣2，解得n=，得到F2（，﹣2），F(xiàn)3（，﹣2），

因此m=或，

此時(shí)E2（，0），E3（，0），

③當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，AE4=CF1=3，此時(shí)E4（﹣1，0），

綜上所述滿足條件的點(diǎn)E為（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，﹣2）或（，﹣2）．