Question

問(wèn)題情境：將一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按圖1所示的方式擺放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，DF⊥AC于點(diǎn)M，DE⊥BC于點(diǎn)N，試判斷線(xiàn)段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
探究展示：小宇同學(xué)展示出如下正確的解法：
解：OM=ON，證明如下：
連接CO，則CO是AB邊上中線(xiàn)，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分線(xiàn)．（依據(jù)1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依據(jù)2）
反思交流：
（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：
依據(jù)1：                                                                                   
依據(jù)2：                                     
（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的證明過(guò)程．
拓展延伸：
（3）將圖1中的Rt△DEF沿著射線(xiàn)BA的方向平移至如圖2所示的位置，使點(diǎn)D落在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線(xiàn)與CA的延長(zhǎng)線(xiàn)垂直相交于點(diǎn)M，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)與DE垂直相交于點(diǎn)N，連接OM、ON，試判斷線(xiàn)段OM、ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．

Answer 1

（1）解：等腰三角形三線(xiàn)合一（或等腰三角形頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合）；角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。
（2）證明：∵CA=CB，∴∠A=∠B。
∵O是AB的中點(diǎn)，∴OA=OB。
∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°。
∵在△OMA和△ONB中，∠A=∠B，OA=OB，∠AMO=∠BNO，
∴△OMA≌△ONB（AAS）�！郞M=ON。
（3）解：OM=ON，OM⊥ON。理由如下：

連接CO，則CO是AB邊上的中線(xiàn)。
∵∠ACB=90°，∴OC=AB=OB。
又∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°�！唷�2=∠B。
∵BN⊥DE，∴∠BND=90°。
又∵∠B=45°，∴∠3=45°。∴∠3=∠B�！郉N=NB。
∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°。
又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°�！嗨倪呅蜠MCN是矩形�！郉N=MC�！郙C=NB。
∴△MOC≌△NOB（SAS）�！郞M=ON，∠MOC=∠NOB。
∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，即∠MON=∠BOC=90°。
∴OM⊥ON。

解析