Question

25、在△ABC中，AB邊的垂直平分線交直線BC于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)F，AC邊的垂直平分線交直線BC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)G．
（1）當(dāng)∠BAC=100°（如圖）時(shí)，∠DAE=

20°．

°；
（2）當(dāng)∠BAC為一任意角時(shí)，猜想∠DAE與∠BAC的關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB邊的垂直平分線交直線BC于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)F，AC邊的垂直平分線交直線BC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)G可知∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由三角形內(nèi)角和定理及∠BAC=100°列出關(guān)系式，求出∠DAE的值即可；
（2）由于△ABC形狀不能確定，故應(yīng)分∠BAC≥90°、∠BAC＜90°兩種情況進(jìn)行分類討論．

解答：解：（1）∵AB邊的垂直平分線交直線BC于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)F，AC邊的垂直平分線交直線BC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)G，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE①，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAE+∠DAE=180°②，∠BAD+∠CAE+∠DAE=100°③，
①②③聯(lián)立得∠DAE=20°；（2分）

（2）∠DAE=2|90°-∠BAC|（4分）
或∠DAE=2∠BAC．（5分）
即當(dāng)∠BAC≥90°時(shí)，∠DAE=2（∠BAC-90°）；
當(dāng)∠BAC＜90°且∠B及∠C均為銳角時(shí)，
∠DAE=2（90°-∠BAC）；
當(dāng)∠BAC＜90°且∠B、∠C兩者之一為鈍角時(shí)，
∠DAE=2∠BAC．
證明：（I）①當(dāng)∠BAC＞90°時(shí)，如圖1，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠B+∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
∵DF垂直平分AB，
∴DB=DA，
∴∠B=∠1．同理得∠C=∠3，代入式，得：2∠B+∠2+2∠C=180°，
∠2=180°-2（∠B+∠C）=180°-2（180°-∠BAC）=2（∠BAC-90°），（7分）
即∠DAE=2（∠BAC-90°）；

②當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，如圖2，此時(shí)，點(diǎn)D、E重合，即
∠DAE=0°，而∠BAC-90°=0°，
∴∠DAE=2（∠BAC-90°）（8分）
（II）當(dāng)∠BAC＜90°且∠B及∠C均為銳角時(shí)，①點(diǎn)D、E均在線段BC上，
如圖3，∵∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠B+∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
∵DF垂直平分AB，∴DB=DA，
∴∠B=∠1+∠2，∴∠1=∠B-∠2，
同理得∠3=∠C-∠2，代入上式，得∠B+（∠B-∠2）+∠2+（∠C-∠2）+∠C=180°，
整理得∠2=2（∠B+∠C-90°）=2（180°-∠BAC-90°）=2（∠BAC-90°），
即∠DAE=2（90°-∠BAC）；（10分）
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上（如圖4）時(shí)，
∵EG垂直平分AC，
∴EC=EA，∠C=∠EAC，即∠C=∠1+∠2+∠3，
兩邊都加∠2，得∠C+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2，而DA=DB，
∴∠2=∠ABC，上式即為∠ABC+∠C=∠DAE+∠BAC，
∴∠DAE=∠ABC+∠C-∠BAC=180°-∠BAC-∠BAC=2（90°-∠BAC），
即∠DAE=2（90°-∠BAC）；
③當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上（如圖5）時(shí)，
∵DF垂直平分AB，
∴DB=DA，∠B=∠BAD，即∠B=∠1+∠2+∠3，
兩邊都加∠2，得∠B+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2，而EA=EC，
∴∠2=∠ACE，上式即為∠B+∠ACB=∠BAC+∠DAE，
∴∠DAE=∠B+∠ACB-∠BAC=180°-∠BAC-∠BAC=2（90°-∠BAC），
即∠DAE=2（90°-∠BAC）；
④當(dāng)點(diǎn)D、E分別在線段BC的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線上（如圖6）時(shí)，∠2+∠ABC+∠ACB=180°，等式兩邊都加上∠1+∠2+∠3，得
（∠1+∠2+∠3）+∠2+∠ABC+∠ACB=180°+（∠1+∠2+∠3），由∠1+∠2=∠ACB，∠2+∠3=∠ABC，∠1+∠2+∠3=∠DAE，得2（∠ABC+∠ACB）=180°+∠DAE，
整理得∠DAE=2（90°-∠BAC）；
⑤當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合（如圖7）時(shí)，∠DAE=∠1+∠2，兩邊都加上∠2，得∠DAE+∠2=∠1+∠2+∠2，由∠2=∠BAC=∠ABC，∠1+∠2=∠BCA，得∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠ABC，∠DAE+∠BAC=180°-∠BAC，得∠DAE=2（90°-∠BAC）；
⑥當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖8）時(shí)，∠DAE=∠1+∠2，兩邊都加上∠1，得∠DAE+∠1=∠1+∠2+∠1，由∠1=∠BAC=∠ACB，∠1+∠2=∠ABC，得∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠ABC，∠DAE+∠BAC=180°-∠BAC，得∠DAE=2（90°-∠BAC）；

⑦當(dāng)點(diǎn)D與C重合，點(diǎn)E與B重合時(shí)，如圖9，由已知條件得BA=BC，CA=CB，從而△ABC為等邊三角形，∠DAE=∠A=60°=2（90°-60°）=2（90°-∠A），即∠DAE=2（90°-∠BAC）；（12分）
（III）當(dāng)∠BAC＜90°且∠B或∠C之一為鈍角時(shí)，①設(shè)∠ACB為鈍角，如圖10，
∵EG垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴∠ACE=∠3，
又∵∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+∠1+∠2，即∠3=∠B+∠1+∠2，兩邊都加上∠2，
∠3+∠2=∠B+∠1+∠2+∠2，
∵∠3+∠2=∠DAE，∠1+∠2=∠BAC，∠1=∠B，代入得：∠DAE=∠1+∠1+∠2+∠2=2（∠1+∠2）=2∠BAC，即∠DAE=2∠BAC；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合（∠ACB為鈍角）時(shí)，如圖11，
∵EA=EC，
∴∠2=∠ACE，
∵∠ACE=∠1+∠B=2∠1，即∠DAE=2∠BAC；
③當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，如圖12，
∵∠1=∠ABD，而∠ABD=∠2+∠3+∠C，
∴∠1=∠2+∠3+∠C，兩邊都加∠2，得
∠1+∠2=∠2+∠3+∠C+∠2，∠DAE=∠BAC+∠BAC=2∠BAC；
④當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（∠ABC為鈍角）時(shí)，如圖13，
∵DA=DB，∴∠1=∠ABD，∵∠ABD=∠2+∠C=2∠2，即∠DAE=2∠BAC；（14分）
綜上所述，得∠DAE=2（∠BAC-90°）或∠DAE=2（90°-∠BAC）或∠DAE=2∠BAC，即∠DAE=2|90°-∠BAC|或∠DAE=2∠BAC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是線段垂直平分線及三角形外角的性質(zhì)，在解答此題時(shí)由于△ABC的形狀不能確定，故應(yīng)進(jìn)行分類討論．