Question

【題目】如圖1，將矩形ABCD沿DE折疊，使頂點(diǎn)A落在DC上的點(diǎn)A′處，然后將矩形展平，沿EF折疊，使頂點(diǎn)A落在折痕DE上的點(diǎn)G處．再將矩形ABCD沿CE折疊，此時(shí)頂點(diǎn)B恰好落在DE上的點(diǎn)H處．如圖2．
（1）求證：EG=CH；
（2）已知AF= ，求AD和AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由折疊知AE=AD=EG，BC=CH，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，

∴EG=CH

（2）解：∵∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF= ，

∴DG= ，DF=2，

∴AD=AF+DF= +2；

由折疊知∠AEF=∠GEF，∠BEC=∠HEC，

∴∠GEF+∠HEC=90°，∠AEF+∠BEC=90°，

∵∠AEF+∠AFE=90°，

∴∠BEC=∠AFE，

在△AEF與△BCE中，

，

∴△AEF≌△BCE（AAS），

∴AF=BE，

∴AB=AE+BE= +2+ =2 +2．

【解析】（1）由折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)可知AE=AD=EG，BC=CH，再根據(jù)四邊形ABCD是矩形，可得AD=BC，等量代換即可證明EG=CH；（2）由折疊的性質(zhì)可知∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF= ，那么DG= ，利用勾股定理求出DF=2，于是可得AD=AF+DF= +2；再利用AAS證明△AEF≌△BCE，得到AF=BE，于是AB=AE+BE= +2+ =2 +2．