【題目】已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C是BA延長線上一點(diǎn),CP切⊙O于P,弦PD⊥AB于E,過點(diǎn)B作BQ⊥CP于Q,交⊙O于H.
(1)如圖1,求證:PQ=PE;
(2)如圖2,G是圓上一點(diǎn),∠GAB=30,連接AG交PD于F,連接BF,tan∠BFE=,求∠C的度數(shù);
(3)如圖3,在(2)的條件下,PD=6,連接QG交BC于點(diǎn)M,求QM的長.
【答案】(1)證明見解析(2)30°(3) QM=
【解析】試題分析:
(1)連接OP,PB,由已知易證∠OBP=∠OPB=∠QBP,從而可得BP平分∠OBQ,結(jié)合BQ⊥CP于點(diǎn)Q,PE⊥AB于點(diǎn)E即可由角平分線的性質(zhì)得到PQ=PE;
(2)如下圖2,連接OP,則由已知易得∠CPO=∠PEC=90°,由此可得∠C=∠OPE,設(shè)EF=x,則由∠GAB=30°,∠AEF=90°可得AE= ,在Rt△BEF中,由tan∠BFE=可得BE= ,從而可得AB= ,則OP=OA= ,結(jié)合AE= 可得OE= ,這樣即可得到sin∠OPE=,由此可得∠OPE=30°,則∠C=30°;
(3)如下圖3,連接BG,過點(diǎn)O作OK⊥HB于點(diǎn)K,結(jié)合BQ⊥CP,∠OPQ=90°,可得四邊形POKQ為矩形.由此可得QK=PO,OK∥CQ從而可得∠KOB=∠C=30°;由已知易證PE=,在Rt△EPO中結(jié)合(2)可解得PO=6,由此可得OB=QK=6;在Rt△KOB中可解得KB=3,由此可得QB=9;在△ABG中由已知條件可得BG=6,∠ABG=60°;過點(diǎn)G作GN⊥QB交QB的延長線于點(diǎn)N,由∠ABG=∠CBQ=60°,可得∠GBN=60°,從而可得解得GN=,BN=3,由此可得QN=12,則在Rt△BGN中可解得QG=,由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分線,由此可得QM:GM=QB:GB=9:6由此即可求得QM的長了.
試題解析:
(1)如下圖1,連接OP,PB,∵CP切⊙O于P,
∴OP⊥CP于點(diǎn)P,
又∵BQ⊥CP于點(diǎn)Q,
∴OP∥BQ,
∴∠OPB=∠QBP,
∵OP=OB,
∴∠OPB=∠OBP,
∴∠QBP=∠OBP,
又∵PE⊥AB于點(diǎn)E,
∴PQ=PE;
(2)如下圖2,連接,∵CP切⊙O于P,
∴
∴
∵PD⊥AB
∴
∴
∴
在Rt中,∠GAB=30°
∴設(shè)EF=x,則
在Rt中,tan∠BFE=3
∴
∴
∴
∴
∴在RtPEO中,
∴30°;
(3)如下圖3,連接BG,過點(diǎn)O作于K,又BQ⊥CP,
∴,
∴四邊形POKQ為矩形,
∴QK=PO,OK//CQ,
∴30°,
∵⊙O 中PD⊥AB于E ,PD=6 ,AB為⊙O的直徑,
∴PE= PD= 3,
根據(jù)(2)得,在RtEPO中, ,
∴,
∴OB=QK=PO=6,
∴在Rt中, ,
∴,
∴QB=9,
在△ABG中,AB為⊙O的直徑,
∴AGB=90°,
∵BAG=30°,
∴BG=6, ABG=60°,
過點(diǎn)G作GN⊥QB交QB的延長線于點(diǎn)N,則∠N=90°,∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°,
∴BN=BQ·cos∠GBQ=3,GN=BQ·sin∠GBQ=,
∴QN=QB+BN=12,
∴在Rt△QGN中,QG=,
∵∠ABG=∠CBQ=60°,
∴BM是△BQG的角平分線,
∴QM:GM=QB:GB=9:6,
∴QM=.
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【題目】若a、b互為相反數(shù),b、c互為倒數(shù),并且m的立方等于它本身。
(1)求+ac值.
(2)若a>1,且m<0,S=|2a-3b|-2|b-m|-|b+|,求2a-S的值.
(3)若m≠0,試討論:x為有理數(shù)時(shí)|x+m|-|x-m|是否存在最大值?若存在求出這個(gè)最大值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某自行車廠計(jì)劃一周生產(chǎn)1400輛自行車,平均每天生產(chǎn)200輛,由于各種原因,實(shí)際每天的生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入。
下表是某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)為正,減產(chǎn)為負(fù)):
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增減 |
(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)了_________輛;
(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)__________輛;
(3)該廠實(shí)行計(jì)件工資制,每輛車60元,超額完成任務(wù)每輛獎(jiǎng)15元,少生產(chǎn)一輛扣15元,那么該廠工人這一周的工資總額是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD與BC相交于點(diǎn)F,F(xiàn)A=FC,∠A=∠C,點(diǎn)E在BD的垂直平分線上.
(1)如圖1,求證:∠FBE=∠FDE;
(2)如圖2,連接CE分別交BD、AD于點(diǎn)H、G,當(dāng)∠FBD=∠DBE=∠ABF,CD=DE時(shí),直接寫出所有與△ABF全等的三角形.
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后的圖形是△A′B′C,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′落在中線AD上,且點(diǎn)A′是△ABC的重心,A′B′與BC相交于點(diǎn)E,那么BE:CE= .
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【題目】一輛慢車和一輛快車沿相同的路線從A地到B地,所行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖形如圖所示,下列說法正確的有( )
①快車追上慢車需6小時(shí);②慢車比快車早出發(fā)2小時(shí);③快車速度為46km/h;④慢車速度為46km/h; ⑤A、B兩地相距828km;⑥快車從A地出發(fā)到B地用了14小時(shí)
A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)
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【題目】如圖,在中,AC、BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線EF、GH,分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點(diǎn),連接EG、GF、FH、HE。
(1)如圖①,試判斷四邊形EGFH的形狀,并說明理由;
(2)如圖②,當(dāng)時(shí),試判斷四邊形EGFH的形狀,并說明理由;
(3)如圖③,在(2)的條件下,當(dāng),時(shí),試判斷四邊形EGFH的形狀,并說明理由。
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【題目】學(xué)校新到一批理、化、生實(shí)驗(yàn)器材需要整理,若實(shí)驗(yàn)管理員李老師一人單獨(dú)整理需要40分鐘完成,現(xiàn)在李老師與工人王師傅共同整理20分鐘后,李老師因事外出,王師傅再單獨(dú)整理了20分鐘才完成任務(wù).
(1)王師傅單獨(dú)整理這批實(shí)驗(yàn)器材需要多少分鐘?
(2)學(xué)校要求王師傅的工作時(shí)間不能超過30分鐘,要完成整理這批器材,李老師至少要工作多少分鐘?
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