【題目】中,,,,點,,分別是,的中點,連接,

1)如圖①,,點上,則 ;

2)如圖②,,點不在上,判斷的度數(shù),并證明你的結論;

3)連接,若,,固定,將繞點旋轉,當的長最大時,的長為 (用含的式子表示).

【答案】1;(2,證明見解析;(3

【解析】

1)由AB=ACAD=AE,得BD=CE,再根據(jù)G、P、F分別是BCCD、DE的中點,可得出PGBDPFCE.則∠GPF=180°—=90°;

2)連接BD,連接CE,由已知可證明△ABD≌△ACE,則∠ABD=ACE.因為G、P、F分別是BC、CD、DE的中點,則PGBDPFCE.進而得出∠GPF=180°—=120°;

3)當DBA的延長線上時,CE=BD最長,此時BD=AB+AD=5+2=7,再由三角形中位線定理即可算出PG=3.5,在RtGPH中,由三角函數(shù)的定義即可求出GH,進一步求出FG

解:(1)∵AB=AC、AD=AE,

BD=CE,

GP、F分別是BCCD、DE的中點,

PGBD,PFCE

∴∠ADC=DPG,∠DPF=ACD,

∴∠GPF=DPF+DPG=ADC+ACD=180°-BAC==90°,

即∠GPF=90°;

2)∠FPG=120°,證明如下:

如圖,連接BD,連接CE.如圖②,

∵∠BAC=DAE

∴∠BAD=CAE,

在△ABD和△ACE中,

,

∴△ABD≌△ACESAS),

∴∠ABD=ACE,

G、P、F分別是BCCD、DE的中點,

PGBD,PFCE,

∴∠PGC=CBD,

DPF=DCE=DCA+ACE=DCA+ABD,

DPG=PGC+BCD=CBD+BCD

∴∠GPF=DPF+DPG=DCA+ABD+CBD+BCD=180°—∠BAC=180°—=120°,

即∠GPF=120°;

3)如圖,連結BDCE,過PPHFGH,

由(2)可知,△ABD≌△ACE,

BD=CE,且,

DBA的延長線上時,CE最長,即BD最長,此時BD=AB+AD=5+2=7,

PG=3.5,

PF=PG,PHFG,

FG=2HG,

,

故答案為:

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