Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF⊥AB于點(diǎn)F，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）判斷EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AF=6，sinE= ，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：EF與⊙O相切，理由是：

連接OD、AD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵OA=OC，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AB，

∵EF⊥AB，

∴OD⊥EF，

∴EF與⊙O相切

（2）解：∵OD∥AB，

∴△EOD∽△EAF，

∴ ，

Rt△AEF中，sinE= = ，

∵AF=6，

∴ ，

∴AE=10，

設(shè)OD=x，則OA=OD=x，

∴ ，

x= ，

∴OA= ，

∴AC=2OA= ，

∴AB=AC= ，

∴BF=AB﹣AF= ﹣6=

【解析】（1）EF與⊙O相切，先根據(jù)等腰三角形三線合一得：BD是高線也是中線，由此得OD是△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AB，所以O(shè)D⊥EF，則EF與⊙O相切；（2）設(shè)圓的半徑為x，根據(jù)△EOD∽△EAF，列比例式求x的值，則直徑AC= ，則AB= ，由此可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用等腰三角形的性質(zhì)和直線與圓的三種位置關(guān)系對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）；直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．