Question

等邊三角形ABK、BCL、CDM和DAN，證明四線段KL、LM、MN、NK的中點和八線段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的中點，是一個正十二邊形的十二個頂點。

Answer 1

證明：如圖，以已知正方形的中心O為原點，以正方形邊長之半為長度單位建立直角坐標系．則正方形四個頂點的坐標分別為： A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）
∵所作的四個等邊三角形分別對稱于x軸或y軸，
∴K、L、M、N四點在X軸和y軸上，它們的坐標分別為：

CL、NK、CM的中點分別為：
利用距離公式可得



所以 |OP₁|=|OP₂|=|OP₃| 且 |P₁P₂|=|P₂P₃|
又由對稱性可知，這十二條線段的中點，即圖中的點P₁、P₂、P₃、…、P₁₁、P₁₂，與O點的距離都相等，即它們都在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上，并且每相鄰兩點之間的距離都相等，（都等于）因此，這12個點是一個正十二邊形的頂點。