如圖,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD:BC=1:2,點E為邊AB中點,點F是邊BC上一動點,線段CE與線段DF交于點G.
(1)若,求的值;
(2)連接AG,在(1)的條件下,寫出線段AG和線段DC的位置關系和數(shù)量關系,并說明理由;
(3)連接AG,若AD=2,AB=3,且△ADG與△CDF相似,求BF的長.

【答案】分析:(1)延長CE和DA,相交于M,根據(jù)平行線分線段成比例進行計算可以求出的值.(2)根據(jù)對應線段的比相等可以得到AG與DC的位置和數(shù)量關系.(3)根據(jù)兩三角形相似,對應線段的比相等,求出線段BF的長.
解答:解:(1)∵BF:FC=1:3,∴設BF=k,
則FC=3k,BC=4k,∵AD:BC=1:2,∴AD=2k,
如圖:延長CE交DA的延長線于點M,
∵AD∥BC,
,且
∵點E為邊AB中點,
∴AM=BC=4k,
∴DM=DA+AM=2k+4k=6k,


(2)AG∥DC,且
證明:∵AD∥BC,

,

∴AG∥DC.


(3)∵ABCD是等腰梯形,AD=2,AD:BC=1:2,
∴BC=4,
∵AD∥BC,
∴∠ADG=∠DFC,
∵△ADG∽△CDF,
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC.
情況1,當∠AGD=∠FDC時,有AG∥DC,延長CE交DA的延長線于點M,可得AM=4,
,
∴AG=2
∵△ADG與△CDF相似,且∠AGD=∠FDC,
,即
∴CF=3
∴BF=1.
情況2,當∠DAG=∠FDC時,延長AG交BC于點T,可得△ABT∽△FCD,
,由AD∥BC得,
設BF=x,可得FT=,
,
整理得:2x2-4x+11=0,
∵△=16-88<0,
∴無實數(shù)根;
∴BF=1.
點評:本題考查的是相似三角形的判定與性質,(1)根據(jù)梯形的兩底平行,延長CE和DA,運用平行線分線段成比例求出兩線段的比.(2)根據(jù)對應線段的比相等,證明兩線段互相平行.(3)根據(jù)兩三角形相似,對應線段的比相等,求出線段BF的長.
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10

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