Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.

（1）點(diǎn)的縱坐標(biāo)為___________;

（2）作軸，軸，垂足分別為、，與相交于點(diǎn)，連結(jié).

①求證：；

②若四邊形是正方形且面積為，把直線向右平移個單位，平移后的直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）16

【解析】

(1)由點(diǎn)A的橫坐標(biāo),利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)

(2)①由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),進(jìn)而可得出MC,NC,BC,AC的長度,由長度之間的關(guān)系可得出,結(jié)合∠ACB=∠MCN=90°可證出△ACB∽△MCN,利用相似三角形的性質(zhì)可得出∠ABC=∠MNC,再利用“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”可證出AB∥MN

②由正方形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,可得出點(diǎn)A,C的坐標(biāo)及k值,由點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出直線OC的解析式,利用平移的性質(zhì)可求出直線PQ的解析式及點(diǎn)Q的坐標(biāo),聯(lián)立直線PQ和反比例函數(shù)解析式成方程組,通過解方程組可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出的值

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，

故答案為：

（2）①證明：當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為

∵AM⊥x軸，BN⊥y軸

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

∴NC=m，BC=n-m，MC=，AC=，

∴，；

∴

又∵∠ACB=∠MCN=90°

∴△ACB∽△MCN

∴∠ABC=∠MNC

∴AB∥MN

②∵四邊形ABMN是正方形,

∴CM=CN， BN=2CN， AM=2CM

∴n=2m，△CMN為等腰直角三角形

∵

∴

∴CM=CN=2

∴m=2，n=4

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2)

∴k=2×4=8，直線OC的解析式為y=x.

∵把直線OC向右平移c個單位得到直線PQ

∴直線PQ的解析式為y=x-c,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(c,0)

聯(lián)立直線PQ和反比例函數(shù)解析式成方程組得：，

解得：， （舍去）

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

∴

故答案為：16