Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為A（-4，0），B（0，3）．
（1）求AB的長；
（2）過點B作BC⊥AB，交軸于點C，求點C的坐標；
（3）在（2）的條件下，如果P、Q分別是AB和AC上的動點，連接PQ，設AP=CQ=x，問是否存在這樣的使得△APQ與△ABC相似？若存在，請求出的x值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點A、B的坐標分別為A（-4，0），B（0，3）可知OB=3，AO=4，利用勾股定理即可求出AB．
（2）根據BC⊥AB，BO⊥AC，利用射影定理即可求出OC，然后可知C點的坐標．
（3）假設△APQ與∽△ABC，利用其對應邊成比例即可求出x的值．
解答：解：（1）∵點A、B的坐標分別為A（-4，0），B（0，3），
∴OB=3，AO=4，
∴AB==5；

（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，
∴BO²=AO•OC，即OC===2.25，
∴C點的坐標是（2.25，0）；

（3）

當△APQ與∽△ABC時，PQ∥BC，
∴=，
∵AP=CQ=x，
∴=，
解得x=．
當△APQ與∽△ACB時，，
即，
解得：x=
答：（1）AB的長為5；（2）C的坐標為（2.25，0）；（3）存在，x的值為或．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，勾股定理，射影定理等知識點，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，屬于中檔題．