Question

考慮方程（x²-10x+a）²=b①
（1）若a=24，求一個實數(shù)b，使得恰有3個不同的實數(shù)x滿足①式．
（2）若a≥25，是否存在實數(shù)b，使得恰有3個不同的實數(shù)x滿足①式？說明你的結論．

Answer 1

分析：（1）把方程變形為（x²-10x+a-

b

）（x²-10x+a+

b

）=0．當a=24，得到x²-10x+24-

b

=0或x²-10x+24+

b

=0；要恰有3個不同的實數(shù)x滿足①式，則兩個方程中一個判別式等于0，另外一個判別式大于0即可．
（2）由（1）得x²-10x+a-

b

=0或x²-10x+a+

b

=0，△₁=4（25-a+

b

），△₂=4（25-a-

b

），當a≥25，則△₂≤0，若△₂＜0，最多有兩個不同的x滿足①；若△₂=0，有a=25，b=0，則△₁=0，只有一個x滿足①．

解答：解：（1）把方程變形為（x²-10x+a-

b

）（x²-10x+a+

b

）=0．當a=24，
得到x²-10x+24-

b

=0或x²-10x+24+

b

=0；
△₁=4（1+

b

）；△₂=4（1-

b

），
要保證恰有3個不同的實數(shù)x滿足①式，
則△₁＞0，△₂=0，所以有b=1．

（2）不存在實數(shù)b，使得恰有3個不同的實數(shù)x滿足①式．理由如下：
由（1）得x²-10x+a-

b

=0或x²-10x+a+

b

=0，則△₁=4（25-a+

b

），△₂=4（25-a-

b

），
若a≥25，則有△₂≤0，當△₂＜0時，最多有兩個不同的x滿足①；當△₂=0，有a=25，b=0，則△₁=0，兩個方程都有相同的等根5，所以只有一個x滿足①．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了化高次方程為一元二次方程的方法、二次根式的性質和不等式的性質．