Question

如圖，拋物線C₁：y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），將拋物線C₁向右平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線C₂，C₂交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線C₁的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACD，當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線C₂的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，求拋物線C₂的解析式；
（3）若拋物線C₂的對(duì)稱(chēng)軸存在點(diǎn)P，使△PAC為等邊三角形，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）把（0，0）及（2，0）代入y=x²+bx+c，求出拋物線C₁的解析式，即可求出拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
（2）先求出C₂的解析式，確定A，B，C的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥對(duì)稱(chēng)軸DE，垂足為H，利用△PAC為等腰直角三角形，求出角的關(guān)系可證得△CHD≌△DEA，再由OC=EH列出方程求解得出m的值，即可得出C₂的解析式．
（3）連接BC，BP，由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知AP=BP，由△PAC為等邊三角形，可得AP=BP=CP，∠APC=60°，由C，A，B三點(diǎn)在以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的圓上，可得BC=2OC，
利用勾股定理求出OB

3

OC，列出方程求出m的值即可．

解答：解：（1）∵拋物線C₁經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），
∴

c=0 4+2b+c=0

，解得

b=-2 c=0

，
∴拋物線C₁的解析式為y=x²-2x，
∴拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-1），
（2）如圖1，

∵拋物線C₁向右平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線C₂，
∴C₂的解析式為y=（x-m-1）²-1，
∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m²+2m），
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥對(duì)稱(chēng)軸DE，垂足為H，
∵△ACD為等腰直角三角形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠CDH+∠ADE=90°
∴∠HCD=∠ADE，
∵∠DEA=90°，
∴△CHD≌△DEA，
∴AE=HD=1，CH=DE=m+1，
∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2，
由OC=EH得m²+2m=m+2，解得m₁=1，m₂=-2（舍去），
∴拋物線C₂的解析式為：y=（x-2）²-1．
（3）如圖2，連接BC，BP，

由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知AP=BP，
∵△PAC為等邊三角形，
∴AP=BP=CP，∠APC=60°，
∴C，A，B三點(diǎn)在以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的圓上，
∴∠CBO=

1

2

∠CPA=30°，
∴BC=2OC，
∴由勾股定理得OB=

BC2-OC2

=

3

OC，
∴

3

（m²+2m）=m+2，
解得m₁=

3

3

，m₂=-2（舍去），
∴m=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)求解．