Question

已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸，y軸分別相交于點A（-1，0），B（0，3）兩點，其頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若該拋物線與x軸的另一個交點為E．求四邊形ABDE的面積；
（3）△AOB與△BDE是否相似？如果相似，請予以證明；如果不相似，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（-1，0），B（0，3）兩點代入解析式求出即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可得出E點坐標(biāo)，利用四邊形ABDE的面積=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE，求出即可；
（3）利用勾股定理求出BD，BE，DE，得出△BDE是直角三角形，再利用

AO

BD

=

BO

BE

=

2

2

，得出答案即可．

解答：解：（ 1）由已知得：

c=3 -1-b+c=0

，
解得：c=3，b=2，
∴拋物線的線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）由頂點坐標(biāo)公式得頂點坐標(biāo)為（1，4）
所以對稱軸為x=1，A，E關(guān)于x=1對稱，
所以E（3，0），
設(shè)對稱軸與x軸的交點為F，
所以四邊形ABDE的面積=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE，
=

1

2

AO•BO+

1

2

(BO+DF)•OF+

1

2

EF•DF
=

1

2

×1×3+

1

2

(3+4)×1+

1

2

×2×4=9；

（3）相似．
如圖，作BG⊥DF，
BD=

BG2+DG2

=

12+12

=

2

，
BE=

BO2+OE2

=

32+32

=3

2

，
DE=

DF2+EF2

=

22+42

=2

5

，
所以BD²+BE²=20，DE²=20，
即：BD²+BE²=DE²，所以△BDE是直角三角形，
所以∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

=

BO

BE

=

2

2

，
所以△AOB∽△DBE．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及四邊形面積求法和勾股定理、相似三角形的判定等知識，根據(jù)已知結(jié)合坐標(biāo)系得出BD，BE，DE的長，利用數(shù)形結(jié)合得出是解決問題的關(guān)鍵．