Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于點(diǎn)E．DF⊥BC于點(diǎn)F．AD=2cm，BC=6cm，AE=4cm．點(diǎn)P、Q分別在線段AE、DF上，順次連接B、P、Q、C，線段BP、PQ、QC、CB所圍成的封閉圖形記為M，若點(diǎn)P在線段AE上運(yùn)動時，點(diǎn)Q也隨之在線段DF上運(yùn)動，使圖形M的形狀發(fā)生改變，但面積始終為10cm²，設(shè)EP=xcm，F(xiàn)Q=ycm．解答下列問題：
（1）直接寫出當(dāng)x=3時y的值；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)x取何值時，圖形M成為等腰梯形？圖形M成為三角形？
（4）直接寫出線段PQ在運(yùn)動過程中所能掃過的區(qū)域的面積．

Answer 1

（1）由等腰梯形的性質(zhì)得：BE=EF=FC=2，
∴S_M=S_△BPE+S_△QFC+S_梯形QFEP
=

1

2

BE•x+

1

2

FC•y+

x+y

2

•EF
=

1

2

×2x+

1

2

×2y+

x+y

2

×2
=2（x+y），
把S_M=10，x=3代入上式，解得y=2．

（2）由等腰梯形的性質(zhì)得：BE=EF=FC=2，
∵S_△BEP+S_梯形PEFQ+S_△FCQ=S_梯形M，
∴

1

2

×2x+

1

2

（x+y）×2+

1

2

×2y=10，
∴y=-x+5，
由

0≤x≤4 0≤-x+5≤4

，得1≤x≤4．

（3）若圖形M為等腰梯形（如圖1），則EP=FQ，即x=-x+5，解得x=

5

2

．
∴當(dāng)x=

5

2

時，圖形M為等腰梯形．
若圖形M為三角形，分兩種情形：
①當(dāng)點(diǎn)P、Q、C在一條直線上時（如圖2），EP是△BPC的高，
∴

1

2

BC•EP=10，即

1

2

×6x=10，解得x=

10

3

；
②當(dāng)點(diǎn)B、P、Q在一條直線上時（如圖3），F(xiàn)Q是△BQC的高，
∴

1

2

BC•FQ=10，即

1

2

×6×（-x+5）=10，解得x=

5

3

；
∴當(dāng)x=

10

3

或

5

3

時，圖形M為三角形．

（4）線段PQ掃過的部分是兩個全等的三角形，且都是以x最小時AP的長為底，

1

2

AD的長為高，在（2）中已經(jīng)求得x的取值范圍為1≤x≤4，所以此時AP=AE-x_min=3，那么線段PQ掃過的面積即為：2S=2×

1

2

×3×1=3cm²；
評分說明：（4）中不寫單位不扣分，線段PQ在運(yùn)動過程中所能掃過的區(qū)域?yàn)閳D4中陰影部分