Question

如圖，在矩形ABCD中，點E對角線是BD上一點，作∠CEF=∠CBD，過點C作CF⊥CE交EF于F，連接DF．求證：
（1）

CE

CB

=

CF

CD

；
（2）BD⊥DF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題干條件可知∠CEF=∠CBD，∠BCD=∠ECF=90°，于是可以證得△BCD∽△ECF，即可證得

CE

CB

=

CF

CD

，（2）設(shè)EF和CD的交點為O，根據(jù)△BCD∽△ECF，求得∠BDC=∠EFC，又知∠DOE=∠COF，即可證明△DOE∽△COF，于是可得

OE

OC

=

OD

OF

，進而得到

OE

OD

=

OC

OF

，又知∠DOF=∠EOC，所以證得△ECO∽△DOF，然后得到∠CFO=∠CDF，最后求得∠BDF=90°．

解答：證明：（1）∵過點C作CF⊥CE交EF于F，
∴∠ECF=90°，
∵∠CEF=∠CBD，∠BCD=90°，
∴△BCD∽△ECF，
∴

CE

CB

=

CF

CD

，

（2）設(shè)EF和CD的交點為O，
∵△BCD∽△ECF，
∴∠BDC=∠EFC，
∵∠DOE=∠COF，
∴△DOE∽△COF，
∴

OE

OC

=

OD

OF

，
∴

OE

OD

=

OC

OF

，
∵∠DOF=∠EOC，
∴△ECO∽△DOF，
∴∠CFO=∠CDF，
∴∠EDC+∠CDF=∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠BDF=90°，
∴BD⊥DF．

點評：本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理，本題稍微有點難度．