Question

（2011•道外區(qū)二模）菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，OA=5，cosB=

3

5

，直線AC交y軸于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿折線A-B-C向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒

5

個(gè)單位的速度沿DA向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求△PCQ的面積S（點(diǎn)P在BC上）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）當(dāng)t=

5

2

時(shí)，直線PQ交y軸于F點(diǎn)，求

FD

OD

的值．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCO是菱形我們可以得出角相等和邊相等，作CE⊥OA交OA于點(diǎn)E，由cosB=

3

5

求出OE的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理就可以求出CE的長(zhǎng)度，從而求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)求出直線AC的解析式，求出AD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，從而求出CD的長(zhǎng)度，分為點(diǎn)Q在CD之間和在AC之間時(shí)兩個(gè)不同的解析式．
（3）當(dāng)t=

5

2

時(shí)，利用相似可以求出Q、B的坐標(biāo)，從而可以求出直線PQ的解析式，求出OF的值，從求出其結(jié)論．

解答：解：（1）作CE⊥OA交OA于點(diǎn)E，
∵四邊形ABCO是菱形，
∴OA=AB=BC=CO=5，∠1=∠B，
∵cosB=

3

5

，
∴cos∠1=

OE

OC

=

3

5

，
∴

OE

5

=

3

5

，
∴OE=3，∴AE=2，
在Rt△OEC和Rt△AEC中，由勾股定理，得
EC=4，CA=2

5

，
∴C（3，4）；

（2）∵OA=5，
∴A（5，0），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，由題意，得

4=3k+b 0=5k+b

，解得

k=-2 b=10

，
∴直線AC的解析式為：y=-2x+10，
當(dāng)x=0時(shí)，y=10，
∴OD=10，在Rt△AOD中由勾股定理，得
AD=5

5

，
∴CD=3

5

，
∴當(dāng)

5

2

≤t＜3時(shí)，
DQ=

5

t，QA=5

5

-

5

t，
∴

AQ

AD

=

QG

OD

，
∴

5 5 - 5 t

5 5

=

QG

10

，
∴QG=10-2t，
∴S=

(10-2t)(10-2t-4)

2

，
S=2t²-16t+30，
當(dāng)3＜t＜5時(shí)，
S=

(2t-6)(10-2t)

2

，
S=-2t²+16t-30；

（3）當(dāng)t=

5

2

時(shí)，P（8，4），QG=5，
∴5=-2x+10，
∴x=

5

2

，
∴Q（

5

2

，5），
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，由題意，得

5= 5 2 k+b 4=8k+b

，解得

k=- 2 11 b= 60 11

，
∴直線PQ的解析式為y=-

2

11

x+

60

11

，
當(dāng)x=0時(shí)，y=

60

11

，
∴OF=

60

11

，
∴FD=

50

11

，
∴

FD

OD

=

5

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了三角形的面積公式的運(yùn)用菱形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及解直角三角形的相關(guān)知識(shí)．