Question

【題目】如圖1，直線y＝﹣x+6與y軸于點A，與x軸交于點D，直線AB交x軸于點B，△AOB沿直線AB折疊，點O恰好落在直線AD上的點C處．

（1）求點B的坐標(biāo)；

（2）如圖2，直線AB上的兩點F、G，△DFG是以FG為斜邊的等腰直角三角形，求點G的坐標(biāo)；

（3）如圖3，點P是直線AB上一點，點Q是直線AD上一點，且P、Q均在第四象限，點E是x軸上一點，若四邊形PQDE為菱形，求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0）（2）G（2，2）;（3）E（﹣2，0）．

【解析】

（1）根據(jù)題意可先求出點A和點D的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理求出AD，設(shè)BC=OB=x，則BD=8-x，在直角三角形BCD中根據(jù)勾股定理求出x，即可得到點B的坐標(biāo)；

（2）由點A和點B的坐標(biāo)可先求出AB的解析式，然后作GM⊥x軸于M，FN⊥x軸于N，求證△DMG≌△FND，從而得到GM＝DN，DM＝FN，又因為G、F在直線AB上，進而可求點G的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點Q（a，-a+6），則點P的坐標(biāo)為（a，-a+6），據(jù)此可求出PQ，作QH⊥x軸于H，可以把QH用a表示出來，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理也可以用a把QH表示出來，從而求出a的值，進而求出點E的坐標(biāo).

解：（1）對于直線y＝-x+6，令x＝0，得到y＝6，可得A（0，6），

令y＝0，得到x＝8，可得D（8，0），

∴AC＝AO＝6，OD＝8，AD＝＝10，

∴CD＝AD﹣AC＝4，設(shè)BC＝OB＝x，則BD＝8﹣x，

在Rt△BCD中，∵BC2+CD2＝BD2，

∴x2+42＝（8﹣x）2，

∴x＝3，

∴B（3，0）．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+6，

∵B（3，0），

∴3k+6＝0，

∴k＝﹣2，

∴直線AB的解析式為y＝﹣2x+6，

作GM⊥x軸于M，FN⊥x軸于N，

∵△DFG是等腰直角三角形，

∴DG＝FD，∠1＝∠2，∠DMG＝∠FND＝90°，

∴△DMG≌△FND（AAS），

∴GM＝DN，DM＝FN，設(shè)GM＝DN＝m，DM＝FN＝n，

∵G、F在直線AB上，

∴ ，

解得 ，

∴G（2，2）．

（3）如圖，設(shè)Q（a，﹣a+6），

∵PQ∥x軸，且點P在直線y＝﹣2x+6上，

∴P（a，﹣a+6），

∴PQ＝a，作QH⊥x軸于H，

∴DH＝a﹣8，QH＝a﹣6，

∴＝，

由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，

∴QH＝DQ=PQ＝a，

∴a＝a﹣6，

∴a＝16，

∴Q（16，﹣6），P（6，﹣6），

∵ED∥PQ，ED＝PQ，D（8，0），

∴E（﹣2，0）．