Question

【題目】如圖1，矩形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在第一象限，連接AC， tan∠ACO=2，D是BC的中點(diǎn)，

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖2，M是線段OC上的點(diǎn)，OM=OC，點(diǎn)P是線段OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)P、D、B三點(diǎn)的拋物線交 軸的正半軸于點(diǎn)E，連接DE交AB于點(diǎn)F.

①將△DBF沿DE所在的直線翻折，若點(diǎn)B恰好落在AC上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②以線段DF為邊，在DF所在直線的右上方作等邊△DFG，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）D（2,2）；（2）①P（0,0）；②

【解析】

（1）根據(jù)三角函數(shù)求出OC的長(zhǎng)度，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)求出CD的長(zhǎng)度，即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）①證明在該種情況下DE為△ABC的中位線，由此可得F為AB的中點(diǎn)，結(jié)合三角形全等即可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式（此表達(dá)式為交點(diǎn)式的變形，利用了二次函數(shù)的平移的特點(diǎn)），將E點(diǎn)代入即可求得二次函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式的特征可知P點(diǎn)坐標(biāo)；

②可得G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，證明△DFF'≌△FGG'，可得GG'＝FF'，求得P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)的解析式即可求出F'的坐標(biāo)，結(jié)合①可求得FF'即GG'的長(zhǎng)度.

解：（1）∵四邊形OABC為矩形，

∴BC=OA=4，∠AOC=90°，

∵在Rt△ACO中，tan∠ACO==2，

∴OC=2，

又∵D為CB中點(diǎn)，

∴CD=2，

∴D（2,2）；

（2）①如下圖所示，

若點(diǎn)B恰好落在AC上的時(shí),根據(jù)折疊的性質(zhì),

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴CD=BD,

∴,

∴,

∴，

∴,DF為△ABC的中位線，

∴AF=BF,

∵四邊形ABCD為矩形

∴∠ABC=∠BAE=90°

在△BDF和△AEF中，

∵

∴△BDF≌△AEF，

∴AE=BD=2,

∴E(6,0),

設(shè)，將E（6,0）帶入，8a+2=0

∴a=，則二次函數(shù)解析式為，此時(shí)P（0,0）；

②如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F'，點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng)到G'．連接GG'．當(dāng)點(diǎn)P向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，拋物線開口變大，F點(diǎn)向上線性移動(dòng)，所以G也是線性移動(dòng)．

∵OM=OC=

∴,

當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)，設(shè)此時(shí)二次函數(shù)表達(dá)式為，將代入得，解得，所以拋物線解析式為，整理得.

當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=8（已舍去負(fù)值），

所以此時(shí)，

設(shè)此時(shí)直線 的解析式為y=kx+b，

將D（2,2），E（8,0）代入解得，

所以，

當(dāng)x=4時(shí)，，所以,

由①得，

所以,

∵△DFG、△DF'G'為等邊三角形，

∴∠GDF＝∠G'DF'＝60°，DG＝DF，DG'＝DF'，

∴∠GDF﹣∠GDF'＝∠G'DF'﹣∠GDF'，

即∠G'DG＝∠F'DF，

在△DFF'與△FGG'中，

，

∴△DFF'≌△FGG'（SAS），

∴GG'＝FF'，

即G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為．