【題目】如圖,Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中,直角邊OA與x軸重合,∠OAB=90°,OA=4,AB=2,把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置,一條拋物線正好經(jīng)過點O,C,A三點.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)在x軸上方的拋物線上有一動點P,過點P作x軸的平行線交拋物線于點M,分別過點P,點M作x軸的垂線,交x軸于E,F(xiàn)兩點,問:四邊形PEFM的周長是否有最大值?如果有,請求出最值,并寫出解答過程;如果沒有,請說明理由.
(3)如果x軸上有一動點H,在拋物線上是否存在點N,使O(原點)、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形?若存在,求出N點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:因為OA=4,AB=2,把△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,
可以確定點C的坐標(biāo)為(2,4);由圖可知點A的坐標(biāo)為(4,0),
又因為拋物線經(jīng)過原點,故設(shè)y=ax2+bx把(2,4),(4,0)代入,
得 ,解得
所以拋物線的解析式為y=﹣x2+4x;
(2)
解:四邊形PEFM的周長有最大值,理由如下:
由題意,如圖所示,設(shè)點P的坐標(biāo)為P(a,﹣a2+4a)則由拋物線的對稱性知OE=AF,
∴EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a,
則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+(﹣a2+4a)]=﹣2(a﹣1)2+10,
∴當(dāng)a=1時,矩形PEFM的周長有最大值,Lmax=10;
(3)
解:在拋物線上存在點N,使O(原點)、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形,理由如下:
∵y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4可知頂點坐標(biāo)(2,4),
∴知道C點正好是頂點坐標(biāo),知道C點到x軸的距離為4個單位長度,
過點C作x軸的平行線,與x軸沒有其它交點,過y=﹣4作x軸的平行線,與拋物線有兩個交點,
這兩個交點為所求的N點坐標(biāo)所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+ ,x2=2﹣
∴N點坐標(biāo)為N1(2+ ,﹣4),N2(2﹣ ,﹣4).
【解析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出C的坐標(biāo)和A的坐標(biāo),又因為拋物線經(jīng)過原點,故設(shè)y=ax2+bx把(2,4),(4,0)代入,求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式;(2)四邊形PEFM的周長有最大值,設(shè)點P的坐標(biāo)為P(a,﹣a2+4a)則由拋物線的對稱性知OE=AF,所以EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a,則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+(﹣a2+4a)]=﹣2(a﹣1)2+10,利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形PEFM的周長的最大值;(3)在拋物線上存在點N,使O(原點)、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形,由(1)可求出拋物線的頂點坐標(biāo),過點C作x軸的平行線,與x軸沒有其它交點,過y=﹣4作x軸的平行線,與拋物線有兩個交點,這兩個交點為所求的N點坐標(biāo)所以有﹣x2+4x=﹣4,解方程即可求出交點坐標(biāo).
【考點精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線y=2x-5與x軸和y軸分別交于點A和點B,點C(1,n)在直線AB上,點D在y軸的負(fù)半軸上,且CD=.
(1)求點C、點D的坐標(biāo).
(2)若P為y軸上的點,當(dāng)△PCD為等腰三角形時,求點P的坐標(biāo).
(3)若點M為x軸上一動點(點M不與點O重合),N為直線y=2x-5上一動點,是否存在點M、N,使得△AMN與△AOB全等?若存在,求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
圖1 圖2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A(2,0),B(2,4),定義:若平面內(nèi)點P關(guān)于直線AB的對稱點Q在圖形M內(nèi)或圖形的邊界上,則稱點P是圖形M關(guān)于直線AB的“反稱點”.
(1)已知C(5,0),D(5,3)
①點M1(0,3),M2(-0. 5,2),M3(-2,1),則是△ACD關(guān)于直線AB的“反稱點”的是________:
②若直線y=2x+m上存在△ACD關(guān)于直線AB的“反稱點”,求m的取值范圍;
(2)已知點E(1,0),F(5,0), ,點P(x,y)在直線y=x+1上,且點P是△EFG的反稱點,求點P橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,則下列結(jié)論:①DE=CD;②AD平分∠CDE;③∠BAC=∠BDE;④BE+AC=AB,其中正確的是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知小紅的成績?nèi)缦卤恚?/span>
文化成績 | 綜合素 質(zhì)成績 | 總成績 | |||
測驗1 | 測驗2 | 測驗3 | |||
小紅 | 560分 | 580分 | 630分 | 12 |
(1)小紅的這三次文化測試成績的平均分是_____分;
(2)用(1)中的平均分加上綜合素質(zhì)成績就是小紅的總成績.用同樣的方法計算出小紅所在班級全部同學(xué)的總成績并繪制出了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖.那么小紅所在班級共有_____名同學(xué);
(3)學(xué)校將根據(jù)總成績由高到低保送小紅所在班級前15名同學(xué)進入高中學(xué)習(xí),請問小紅能被保送嗎?說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形OABC中,已知點A、C兩點的坐標(biāo)為A (,),C (2,0).
(1)求點B的坐標(biāo).
(2)將平行四邊形OABC向左平移個單位長度,求所得四邊形A′B′C′O′四個頂點的坐標(biāo).
(3)求平行四邊形OABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為加快城市群的建設(shè)與發(fā)展,在A,B兩城市間新建一條城際鐵路,建成后,鐵路運行里程由現(xiàn)在的120km縮短至114km,城際鐵路的設(shè)計平均時速要比現(xiàn)行的平均時速快110km,運行時間僅是現(xiàn)行時間的,求建成后的城際鐵路在A,B兩地的運行時間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,且點B與點C的坐標(biāo)分別為B(3,0).C(0,3),點M是拋物線的頂點.
(1)求二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)點P為線段MB上一個動點,過點P作PD⊥x軸于點D.若OD=m,△PCD的面積為S,試判斷S有最大值或最小值?并說明理由;
(3)在MB上是否存在點P,使△PCD為直角三角形?如果存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC邊上的高,BE平分∠△ABC交AD于點E.若∠C=60°,∠BED=70°. 求∠ABC和∠BAC的度數(shù).
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