25、請閱讀下列材料:
已知:如圖1在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E分別為線段BC上兩動點,若∠DAE=45度.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.
小明的思路是:把△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連接E′D,使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題:
(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,并對你的猜想給予證明;
(2)當(dāng)動點E在線段BC上,動點D運動在線段CB延長線上時,如圖2,其它條件不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請說明你的猜想并給予證明.
分析:(1)根據(jù)△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE’根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC,AE′=AE,∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,根據(jù)Rt△ABC中的,AB=AC得到∠E′BD=90°所以E′B2+BD2=E′D2,證△AE′D≌△AED,利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2;
(2)關(guān)系式DE2=BD2+EC2仍然成立,可類比(1)的證明方法求證即可.
解答:證明:(1)DE2=BD2+EC2
根據(jù)△AEC繞點A順時,
針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′,
∴△AEC≌△ABE′,
∴BE′=EC,AE′=AE,
∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,
在Rt△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABC+∠ABE′=90°,
即∠E′BD=90°,
∴E′B2+BD2=E′D2
又∵∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°,
∴∠E′AB+∠BAD=45°,
即∠E′AD=45°,
∴△AE′D≌△AED,
∴DE=DE′,
∴DE2=BD2+EC2

(2)關(guān)系式DE2=BD2+EC2仍然成立.
證明:將△ADB沿直線AD對折,
得△AFD,連接FE,
∴△AFD≌△ABD,
∴AF=AB,F(xiàn)D=DB,
∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD,
又∵AB=AC,
∴AF=AC,
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°,
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)=45°+∠DAB,
∴∠FAE=∠EAC,
又∵AE=AE,
∴△AFE≌△ACE,
∴FE=EC,∠AFE=∠ACE=45°,
∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°,
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°,
∴在Rt△DFE中,
DF2+FE2=DE2
即DE2=BD2+EC2
點評:本題考查旋轉(zhuǎn)的知識,三角形全等的判定方法和性質(zhì)已經(jīng)等邊三角形的性質(zhì).判定兩個三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL.判定兩個三角形全等,先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形,然后再根據(jù)三角形全等的判定方法,看缺什么條件,再去證什么條件.利用全等來證明相等的線段是常用的方法之一.
練習(xí)冊系列答案
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11、請閱讀下列材料:
已知:如圖(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E分別為線段BC上兩動點,若∠DAE=45°.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是:把△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連接E′D,使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題:
(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,直接寫出你的猜想;
(2)當(dāng)動點E在線段BC上,動點D運動在線段CB延長線上時,如圖(2),其它條件不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請說明你的猜想并給予證明;
(3)已知:如圖(3),等邊三角形ABC中,點D、E在邊AB上,且∠DCE=30°,請你找出一個條件,使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形,并求出此時等腰三角形頂角的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

請閱讀下列材料:已知方程x2+x-3=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍.
解:設(shè)所求方程的根為y,則y=2x.
所以x=
y
2

把x=
y
2
代入已知方程,得(
y
2
2+
y
2
-3=0,化簡,得y2+2y-12=0.
故所求方程為y2+2y-12=0.
這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”.
問題:已知方程x2+x-1=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的3倍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

請閱讀下列材料:
已知:如圖1在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E分別為線段BC上兩動點,若∠DAE=45度.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.
小明的思路是:把△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連接E′D,使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題:
(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,并對你的猜想給予證明;
(2)當(dāng)動點E在線段BC上,動點D運動在線段CB延長線上時,如圖2,其它條件不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請說明你的猜想并給予證明.

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請閱讀下列材料:

已知:如圖(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB = AC,點DE分別為線段BC上兩動點,若∠DAE=45°.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是:把△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連結(jié)E′D,使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題:

(1)猜想BDDE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,并對你的猜想給予證明;                     

(2)當(dāng)動點E在線段BC上,動點D運動在線段CB延長線上時,如圖(2),其它條件 不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請說明你的猜想并給予證明.

                                                             

 圖(2)

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