Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖，設(shè)點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為．記，矩形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的對稱軸與交于點(diǎn)（如圖2），點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；A（8,0）；B（0,8）；（2）；S的最大值為16，此時；（3）或或或

【解析】

（1）先求出拋物線的對稱軸，然后利用拋物線的對稱性即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將x=0代入即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入到解析式中即可求出拋物線的解析式；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后用含x的式子表示出ED的長，再根據(jù)矩形的面積公式即可求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)求最值即可；

（3）根據(jù)AR為平行四邊形的邊或?qū)�角線分類討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、點(diǎn)Q和點(diǎn)P的縱坐標(biāo)關(guān)系即可求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式中即可求出結(jié)論．

解：（1）∵，

∴拋物線的對稱軸為：，

令，得到，

∵點(diǎn)坐標(biāo)為：，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為：，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

將代入得：，

∴，

則拋物的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）設(shè)直線的解析式為，

將，代入，得

把和坐標(biāo)代入得：，

解得：，

∴直線解析式為，

由，即橫坐標(biāo)為，

代入直線解析式得：，即，

則矩形的面積，，

當(dāng)，即時，有最大值，最大值為16；

（3）當(dāng)AR為以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊時，過點(diǎn)P作AR的平行線，如圖所示， 此時存在兩個Q

把代入直線解析式，解得，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5,3）

∴縱坐標(biāo)為3，

把代入拋物線解析式得：解得：，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；

當(dāng)AR為以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形的對角線時，

∵AR的中點(diǎn)即為PQ的中點(diǎn)，AR的中點(diǎn)在x軸上，即中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0

∴PQ的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)也為0

∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3

∴的縱坐標(biāo)為-3，

把代入拋物線解析式得：解得：，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；

即的坐標(biāo)為：或或或．