Question

【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,經(jīng)過點(diǎn)B的直線l(不與直線AB重合)與直線BC的夾角等于∠ABC,分別過點(diǎn)C、點(diǎn)A作直線l的垂線,垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),若AE=4,判斷以C點(diǎn)為圓心CD長(zhǎng)為半徑的圓C與直線AB的位置關(guān)系并說明理由;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在DB延長(zhǎng)線上時(shí),求證:AE=2CD;

(3)記直線CE與直線AB相交于點(diǎn)F,若,,CD=4,求BD的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)以C點(diǎn)為圓心CD長(zhǎng)為半徑的圓C與直線AB的位置關(guān)系是相切 (2)證明見解析(3) BD的長(zhǎng)為2或8.

【解析】分析：

（1）如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，由已知條件易證此時(shí)四邊形DBFC是正方形，由此可得CF=CD，從而可得此時(shí)以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑的圓C與直線AB的位置關(guān)系是相切；

（2）如圖2，延長(zhǎng)AC交直線l于點(diǎn)G，由∠ACB=90°，∠ABC=∠GBC結(jié)合“三角形內(nèi)角和定理”可得∠BAC=∠BGC，由此可得AB=GB，結(jié)合BC⊥AG可得AC=GC，由CD⊥l，AE⊥l可得CD∥AE，由此即可得到CD：AE=GC：GA=1：2，從而可得結(jié)論AE=2CD；

（3）如圖3和圖4，分點(diǎn)E在線段DB的延長(zhǎng)線上和線段DB上兩種情況作出符合要求的圖形，并過點(diǎn)C作CG∥l交AB于點(diǎn)H，交AE于點(diǎn)G，然后結(jié)合已知條件和（2）中所得結(jié)論進(jìn)行分析計(jì)算即可.

詳解：

(1)以C點(diǎn)為圓心CD長(zhǎng)為半徑的圓C與直線AB的位置關(guān)系是相切,

理由如下：

如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥AB,垂足為點(diǎn)F，

∵CD⊥l，AB⊥l，CF⊥AB，

∴∠CDB=∠DBA=∠CFB=90°，

∴四邊形DBFC是矩形，

∵∠ABD=90°，∠ABC=∠CBD，

∴ ∠ABC=∠CBD=45°,

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°,

∴ ∠BCF=∠ABC=45°，

∴CF=BF，

∴四邊形DBFC是正方形，

∴CF=CD=2，

∴圓C與直線AB相切；

(2)如圖2，延長(zhǎng)AC交直線l于點(diǎn)G,

∵∠ACB=90°,∠ABC=∠GBC

∴∠BAC=∠BGC

∴ AB=GB

∴ AC=GC,

∵ AE⊥l，CD⊥l，

∴ AE∥CD

∴ ,

∴AE=2CD

(3)由題意分以下兩種情況解答：

(I)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在DB延長(zhǎng)線上時(shí):

過點(diǎn)C作CG∥l交AB于點(diǎn)H,交AE于點(diǎn)G,則∠CBD=∠HCB,

∵∠ABC=∠CBD,

∴∠ABC=∠HCB,

∴CH=BH,

∵∠ACB=90°,

∴∠ABC+∠BAC=∠HCB+∠HCA=90°

∴∠BAC=∠HCA

∴CH=AH=BH,

∵CG∥l,

∴ ,

設(shè)CH=5x,則BE=6x,AB=10x

在Rt△ABE中,

由(2)知AE=2CD=8,

∴8x=8,得x=1

∴CH=5,BE=6,AB=10

∵ CG∥l,

∴ ,

∴HG=3,

∴CG=CH+HG=8,

∵四邊形CDEG是矩形,

∴DE=CG=8

∴BD=DE-BE=2;

(Π)如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在DB上時(shí):

同理可得CH=5,BE=6,HG=3,

∴DE=CG=GH-HG=2

∴BD=DE+BE=8,

綜上所述,BD的長(zhǎng)為2或8.