Question

在河的北岸有張莊、李村兩個(gè)村莊，張莊離河北岸的距離為1km，李村位于張莊北偏東60°的方向，離張莊4km，若以河的北岸為x軸，張莊在y軸的正半軸上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（單位：km）．
（1）在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出張莊、李村的位置，并寫(xiě)出其坐標(biāo)；
（2）若在河北岸邊修一水泵站，分別向張莊、李村各鋪一條水管，要使所用的水管最短，水泵站應(yīng)修在什么地方？在圖中標(biāo)出其位置，并求出所用水管的長(zhǎng)度（答案保留根號(hào)）．

Answer 1

（1）如圖，張莊的位置在點(diǎn)A（0，1）處，李村的位置在點(diǎn)B（2

3

，3）．
（2）作出點(diǎn)A（0，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A₁，其坐標(biāo)為（0，-1）．連接BA₁交x軸于點(diǎn)P，P點(diǎn)就是水泵站的位置，
如圖，因?yàn)锳點(diǎn)與A₁點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
所以AP=A₁P．
所以水管最短長(zhǎng)度為PA+PB=PA₁+PB=A₁B．
在Rt△A₁BC中，A₁C=4，BC=2

3

，
所以A₁B=

(2 3 )2+42

=2

7

．
即水管最短的長(zhǎng)度為2

7

km．