Question

（2012•利川市一模）折紙與證明---用紙折出黃金分割點(diǎn)：
第一步：如圖（1），先將一張正方形紙片ABCD對(duì)折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的對(duì)角線BF．
第二步：如圖（2），將AB邊折到BF上，得到折痕BG，試說明點(diǎn)G為線段AD的黃金分割點(diǎn)（AG＞GD）

Answer 1

分析：連接GF，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，由折紙第一步，可知DF=

1

2

，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得出BF=

5

2

，則A′F=

5

2

-1．設(shè)AG=A'G=x，則GD=1-x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，根據(jù)勾股定理由GF不變得出A′F²+A′G²=DF²+DG²，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x=

5 -1

2

，即可說明點(diǎn)G是AD的黃金分割點(diǎn)．

解答：證明：如圖，連接GF，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則DF=

1

2

．
在Rt△BCF中，BF=

BC2+CF2

=

5

2

，
則A′F=BF-BA′=

5

2

-1．
設(shè)AG=A′G=x，則GD=1-x，
在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F²+A'G²=DF²+DG²，
即(

5

2

-1)2+x2=(

1

2

)2+(1-x)2，
解得x=

5 -1

2

，
即點(diǎn)G是AD的黃金分割點(diǎn)（AG＞GD）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查黃金分割的概念：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．