Question

（2005•北京）已知：在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx-4k的圖象與x軸交于點A，拋物線y=ax²+bx+c經過O、A兩點．
（1）試用含a的代數式表示b；
（2）設拋物線的頂點為D，以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分．若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在⊙D內，它所在的圓恰與OD相切，求⊙D半徑的長及拋物線的解析式；
（3）設點B是滿足（2）中條件的優(yōu)弧上的一個動點，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點P，使得∠POA=∠OBA？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖象，易得點A、C的坐標，代入解析式可得a、b的關系式；
（2）根據拋物線的對稱性，結合題意，分a＞0，a＜0兩種情況討論，可得答案；
（3）根據題意，設出P的坐標，按P的位置不同分兩種情況討論，可得答案．
解答：解：（1）解法一：∵一次函數y=kx-4k的圖象與x軸交于點A，
∴點A的坐標為（4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經過O、A兩點，
∴c=0，16a+4b=0．
∴b=-4a（1分）．
解法二：∵一次函數y=kx-4k的圖象與x軸交于點A，
∴點A的坐標為（4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經過O、A兩點，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2．
∴x=-=2．
∴b=-4a（1分）．

（2）由拋物線的對稱性可知，DO=DA
∴點O在⊙D上，且∠DOA=∠DAO
又由（1）知拋物線的解析式為y=ax²-4ax
∴點D的坐標為（2，-4a）
①當a＞0時，如圖
設⊙D被x軸分得的劣弧為，它沿x軸翻折后所得劣弧為，顯然所在的圓與⊙D關于x軸對稱，設它的圓心為D'
∴點D'與點D也關于x軸對稱
∵點O在⊙D'上，且⊙D與OD'相切，
∴點O為切點（2分）
∴D'O⊥OD
∴∠DOA=∠D'OA=45°
∴△ADO為等腰直角三角形
∴OD=2（3分）
∴點D的縱坐標為-2
∴-4a=-2，
∴a=，b=-4a=-2．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x．（4分）
②當a＜0時，
同理可得：OD=2
拋物線的解析式為y=-x²+2x（5分）
綜上，⊙D半徑的長為，拋物線的解析式為y=x²-2x或y=-x²+2x．

（3）答：拋物線在x軸上方的部分上存在點P，使得∠POA=∠OBA
設點P的坐標為（x，y），且y＞0
①當點P在拋物線y=x²-2x上時（如圖）
∵點B是⊙D的優(yōu)弧上的一點
∴∠OBA=∠ADO=45°
∴∠POA=∠OBA=60°
過點P作PE⊥x軸于點E，
∴tan∠POE=
∴=tan60°，
∴y=．
由
解得：（舍去）
∴點P的坐標為．（7分）
②當點P在拋物線y=-x²+2x上時（如圖）
同理可得，y=
由
解得：（舍去）
∴點P的坐標為（4-2，-6+4）．（9分）
綜上，存在滿足條件的點P，點P的坐標為（4+2，6+4）或（4-2，-6+4）．
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．