Question

如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，連接AC，將△ACE沿AC翻折得到△ACF，直線FC與直線AB相交于點G．
（1）證明：直線FC與⊙O相切；
（2）若OB=BG，求證：四邊形OCBD是菱形．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接OC，首先可以由OA=OC得到∠1=∠2，根據翻折可以得到∠2=∠3，由此即可證明直線FC與⊙O相切；
（2）由于OB=BG，由直徑AB垂直弦CD可以得到CB=BD，而OB=OC=OD，由此可以得到OB=OC=OD=BD，然后即可證明題目的結論．

解答：證明：（1）連接OC，
∵OA=OC，∴∠1=∠2
由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．
∴∠2=∠3．
∴OC∥AF．∴∠OCG=∠F=90°．
∵點C在圓上
∴直線FC與⊙O相切．

（2）證法一：
在Rt△OCG中，∵OB=BG，∴BC=

1

2

OG=OB，
∵直徑AB垂直弦CD，∴

CB

=

BD

∴CB=BD，∵OB=OC=OD
∴BC=OC=OD=BD
∴四邊形OCBD是菱形．
證法二：在Rt△OCG中，
∵OB=BG
∴BC=

1

2

OG=OB，
∵OB=OC，
∴CB=CO
∵AB垂直于弦CD，
∴OE=EB
∵直徑AB垂直弦CD，
∴CE=ED
∴四邊形OCBD是平行四邊形，
∵AB垂直于弦CD，
∴四邊形OCBD是菱形．

點評：本題考查了切線的判定，垂徑定理等知識點．其中要證某直線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．