【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D,E是BC的中點,連接DE,OE.

(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)求證:BC2=2CD·OE;

(3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的長.

【答案】(1)DE為⊙O的切線;證明見解析;(2)證明見解析;(3)

【解析】

試題分析:(1)連接OD,BD,由AB為圓O的直徑,得到∠ADB為直角,可得出三角形BCD為直角三角形,E為斜邊BC的中點,利用斜邊上的中線等于斜邊的一半,得到CE=DE,利用等邊對等角得到一對角相等,再由OA=OD,利用等邊對等角得到一對角相等,由直角三角形ABC中兩銳角互余,利用等角的余角相等得到∠ADO與∠CDE互余,可得出∠ODE為直角,即DE垂直于半徑OD,可得出DE為圓O的切線;

(2)證明OE是△ABC的中位線,則AC=2OE,然后證明△ABC∽△BDC,根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等,即可證得;

(3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的長,根據(jù)三角形中位線定理OE的長即可求得.

試題分析:(1)連接OD,BD,

AB為圓O的直徑,

∠ADB=90°,

在Rt△BDC中,E為斜邊BC的中點,

CE=DE=BE=BC,

∠C=∠CDE,

OA=OD,

∠A=∠ADO,

∠ABC=90°,即∠C+∠A=90°,

∠ADO+∠CDE=90°,即∠ODE=90°,

DE⊥OD,又OD為圓的半徑,

DE為⊙O的切線;

(2)E是BC的中點,O點是AB的中點,

OE是△ABC的中位線,

AC=2OE,

∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,

△ABC∽△BDC,

,即BC2=ACCD.

BC2=2CDOE;

(3)cos∠BAD=,

sin∠BAC=,

BE=6,E是BC的中點,即BC=12,

AC=15.

AC=2OE,

OE=AC=

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