Question

（1）已知如圖①、②，正方形ABCD，（1）在圖①的正方形ABCD內(nèi)，找一點(diǎn)P使∠BPC=90°，畫出這個(gè)點(diǎn)；
（2）在圖②正方形ABCD內(nèi)，找出所有點(diǎn)P使∠BPC=60°，用尺規(guī)作圖作出圖形（作圖保留痕跡不用寫作法，寫出結(jié)論）
（3）已知正方形紙片的邊長(zhǎng)為4，從這樣的紙片中剪出兩個(gè)最大的且全等的三角形紙片△BCP和△ADP₁，使∠AP₁D=∠BPC=60°，在圖③畫出這兩個(gè)三角形，并求出剪出的一個(gè)三角形紙片的面積．

Answer 1

分析：（1）如圖1，以BC為直徑作上半圓（不含點(diǎn)B、C），根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到該半圓上的任意一點(diǎn)即可；
（2）①以BC為邊在正方形內(nèi)作等邊△BCE；②作△BCE的外接圓⊙O，分別與AB、DC交于點(diǎn)M、N，由于在⊙O中，弧

BC

的圓周角均為60°，所以

MN

上的所有點(diǎn)均為所求的點(diǎn)P；
（3）同（2）作出

MN

，交AB于M，交CD于N，連接AC，BD，交于H點(diǎn)，

MN

與AC交于P點(diǎn)，與AC分別交于P，P₁，確定出兩個(gè)最大的且全等的三角形紙片△BCP和△ADP₁，且∠AP₁D=∠BPC=60°，如圖3所示，取BC的中點(diǎn)G，連接GH，OP，過O作OQ⊥CP，利用垂徑定理得到Q為CP的中點(diǎn)，由（2）得到OG為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形高的

1

3

，HG為正方形邊長(zhǎng)的一半，由HG-OG求出OH的長(zhǎng)，由三角形OGH為等腰直角三角形，求出OQ的長(zhǎng)，在直角三角形OPQ中，利用勾股定理求出PQ的長(zhǎng)，確定出PC的長(zhǎng)，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直得到BH垂直與PC，利用三角形的面積公式即可求出三角形BPC的面積．

解答：解：（1）如圖1，以BC為直徑作上半圓（不含點(diǎn)B、C），
則該半圓上的任意一點(diǎn)即可；
（2）如圖2，以BC為一邊作等邊△EBC，作△EBC的外接圓⊙O分別與AB，DC交于點(diǎn) M、N，

MN

即為點(diǎn)P的集合；
（3）同（2）作出

MN

，交AB于M，交CD于N，連接AC，BD，交于H點(diǎn)，

MN

與AC交于P點(diǎn)，
同理確定出P₁，可得出∠BPC=∠AP₁D=60°，
得到兩個(gè)最大的且全等的三角形紙片△BCP和△ADP₁，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，∠HBC=∠HCB=45°，
∴△BHC為等腰直角三角形，
取BC的中點(diǎn)G，連接GH，OP，過O作OQ⊥CP，
∴Q為PC的中點(diǎn)，
∵BC=4，HG為斜邊BC上的中線，
∴HG=2，
由（2）得到OG=

1

3

×2

3

=

2 3

3

，
∴OH=HG-OG=2-

2 3

3

，
∵△OHQ為等腰直角三角形，
∴OQ=

2

2

OH=

2

2

（2-

2 3

3

），
在Rt△OPQ中，OP=

2

3

×2

3

=

4 3

3

，
根據(jù)勾股定理得：PQ=

OP2-OQ2

=

2 2 3 +3

3

，
∴CP=2PQ=

4 2 3 +3

3

，
則S_△BPC=

1

2

CP•BH=

4 2 6 +3 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的綜合題，涉及的知識(shí)有：圓周角定理，正方形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，以及尺規(guī)作圖，綜合利用正方形的性質(zhì)和同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等得知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．