Question

（2010•拱墅區(qū)二模）如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（-3，-1），且知點P（-1，-3）是反比例函數(shù)圖象上的點：
（1）分別求出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）作PA⊥x軸，垂足為A，當(dāng)點Q在直線MO上運動時，作QB⊥y軸，垂足為B，問：直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點Q的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的?OPCQ，求?OPCQ周長的最小值以及取得最小值時點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx，將點M坐標(biāo)代入可得k的值，同理代入數(shù)據(jù)可得反比例函數(shù)的關(guān)系式，
（2）設(shè)點Q的坐標(biāo)為Q（m，，由△OBQ與△OAP面積相等，可得關(guān)系式，進(jìn)而可得m的值，代入可得Q₁與Q₂的坐標(biāo)；
（3）因為四邊形OPCQ是□，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，可得P的坐標(biāo)，設(shè)點Q的坐標(biāo)為Q（n，），分析可得求□OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，進(jìn)而可得OQ的二次關(guān)系式，解可得答案．
解答：解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx，將點M坐標(biāo)代入得，
所以正比例函數(shù)解析式為；
同樣可得，反比例函數(shù)解析式為．

（2）當(dāng)點Q在直線MO上運動時，設(shè)點Q的坐標(biāo)為Q（m，），
由S_△OBQ=|OB•BQ|=×|m•m|=，
而S_△OAP=×1×3=，
∴=，解得：m=±3，所以點Q的坐標(biāo)為Q₁（3，1）和Q₂（-3，-1）．

（3）因為四邊形OPCQ是?，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，
∵P（-1，-3）是定點，OP是定長，所以求?OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．
因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點Q的坐標(biāo)為Q（n，），
由勾股定理可得：OQ²=．
配方得OQ²=，當(dāng)即時，OQ²有最小值6，這時Q（，），
又因為OQ為正值，所以O(shè)Q有最小值．
由勾股定理得OP=，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)以及其與直線的關(guān)系，利用形數(shù)結(jié)合解決此類問題，是非常有效的方法．