【題目】已知:AB為⊙O的直徑,P為AB延長線上的任意一點,過點P作⊙O的切線,切點為C,∠APC的平分線PD與AC交于點D.

(1)如圖1,若∠CPA恰好等于30°,求∠CDP的度數(shù);
(2)如圖2,若點P位于(1)中不同的位置,(1)的結論是否仍然成立?說明你的理由.

【答案】解:(1)連接OC,
∵PC是⊙O的切線,
∴OC⊥PC
∴∠OCP=90°.
∵∠CPA=30°,
∴∠COP=60°
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO=30°
∵PD平分∠APC,
∴∠APD=15°,
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°.
(2)∠CDP的大小不發(fā)生變化.
∵PC是⊙O的切線,
∴∠OCP=90°.
∵PD是∠CPA的平分線,
∴∠APC=2∠APD.
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∴∠COP=2∠A,
在Rt△OCP中,∠OCP=90°,
∴∠COP+∠OPC=90°,
∴2(∠A+∠APD)=90°,
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°.
即∠CDP的大小不發(fā)生變化.

【解析】(1)連接OC,則∠OCP=90°,根據(jù)∠CPA=30°,求得∠COP,再由OA=OC,得出∠A=∠ACO,由PD平分∠APC,即可得出∠CDP=45°.
(2)由PC是⊙O的切線,得∠OCP=90°.再根據(jù)PD是∠CPA的平分線,得∠APC=2∠APD.根據(jù)OA=OC,可得出∠A=∠ACO,即∠COP=2∠A,在Rt△OCP中,∠OCP=90°,則∠COP+∠OPC=90°,從而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°.所以∠CDP的大小不發(fā)生變化.

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