(2013•歷城區(qū)三模)(1)如圖1所示,在平行四邊形ABCD中,E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn),且BE=DF,連接AE、CF.請你猜想:AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并對(duì)你的猜想加以證明.
(2)如圖2所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)D在BC邊上,且△ABD是等邊三角形.若AB=2,求△ABC的周長.(結(jié)果保留根號(hào))
分析:(1)根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得AB∥CD,AB=CD,然后利用兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ABE=∠CDF,再利用“邊角邊”證明△ABE和△CDF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠B=60°,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠C=30°,然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BC,再利用勾股定理列式求出AC,最后根據(jù)三角形的周長定義列式計(jì)算即可得解.
解答:解:AE=CF.
理由如下:在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF,
在△ABE和△CDF中,
AB=CD
∠ABE=∠CDF
BE=DF
,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴AE=CF;

(2)∵△ABD是等邊三角形,
∴∠B=60°,
∵∠BAC=90°,
∴∠C=90°-∠B=90°-60°=30°,
∴BC=2AB=2×2=4,
根據(jù)勾股定理,AC=
BC2-AB2
=
42-22
=2
3
cm,
∴△ABC的周長=AB+BC+AC=2+4+2
3
=(6+2
3
)cm.
點(diǎn)評(píng):本題考查了平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),求邊相等,證明兩邊所在的三角形全等是常用的方法之一,要熟練掌握并靈活運(yùn)用.
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1
3n
1
3n

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k
x
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