【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=10,CD=15,E是邊CD上一點,且DE=5,P是射線AD上一動點,過A,P,E三點的⊙O交直線AB于點F,連結(jié)PE,EF,PF,設(shè)AP=m.

(1)當m=6時,求AF的長.

(2)在點P的整個運動過程中.

tanPFE的值是否改變?若不變,求出它的值;若改變,求出它的變化范圍.

②當矩形ABCD恰好有2個頂點落在⊙O上時,求m的值.

(3)若點A,H關(guān)于點O成中心對稱,連結(jié)EH,CH.當CEH是等腰三角形時,求出所有符合條件的m的值.(直接寫出答案即可)

【答案】(1)13;(2) tanPFE的值不變, tanPFE=;m=5;(3) 滿足條件的m的值為10﹣510﹣210+3

【解析】

1)做輔助線,根據(jù)勾股定理,相似成比例求值.(2)根據(jù)幾何關(guān)系和應(yīng)用公式進而得出tanPFE的值不變,再根據(jù)題干的特殊條件求出m.(3)根據(jù)幾何關(guān)系多次利用勾股定理求解.

(1)如圖1中,連接AE.

RtDPE中,∵DE=5,DP=AD﹣AP=4,

PE==,

RtADE中,AE==5,

∵∠PAF=90°,

PF是⊙O的直徑,

∴∠PEF=ADF=90°,

∵∠DAE=PFE,

∴△ADE∽△FEP,

=,

=,

PF=,

RtPAF中,AF===13.

(2)tanPFE的值不變.

理由:如圖1中,∵∠PFE=DAE,

tanPFE=tanDAF==

②如圖2中,當⊙O經(jīng)過A、D時,點PD重合,此時m=10.

如圖3中,當⊙O經(jīng)過A、B時,

RtBCE中,BE==10

tanPFE=,

PE=5

PD==5,

m=PA=5.

如圖4中當⊙O經(jīng)過AC時,作FMDCDC的延長線于M.

根據(jù)對稱性可知,DE=CM=BF=5,

RtEFM中,EF==5,

PE=EF=

PD==,

m=AD﹣PD=

綜上所述,m=105時,矩形ABCD恰好有2個頂點落在⊙O

(3)如圖5中,當EC=CH時,根據(jù)對稱性可知:PE=CH=EC=10,PD==5,

m=10﹣5

如圖6中當EC=EH=10時,

RtAEH中,AH===5

易知PF=AH=5,

∵∴∴PE:EF:PF=1:2:,

PE=

RtPDE中,DP==2,

m=PA=AD﹣PD=10﹣2

如圖7中當HC=HE時,延長FHCDM,則EM=CM=BF=5,HM=,

m=PA=HF=10﹣=

如圖8中,當EH=EC時,

PF=AH===5

PE:EF:PF=1:2:,

PE=

RtPDE中,PD==3,

m=PA=AD+PD=10+3

綜上所述,滿足條件的m的值為10﹣510﹣210+3

練習(xí)冊系列答案
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(2)猜想論證:

在(1)的條件下,當D在線段BC的延長線上時,請你在圖中畫出圖形并判斷(1)中的結(jié)論是否成立,并證明你的判斷.

(3)拓展延伸:

如圖,若AB≠AC,∠BAC≠90°,點D在線段BC上運動,試探究:當銳角∠ACB等于   度時,線段CEBD之間的位置關(guān)系仍成立(點C、E重合除外)?此時若作DF⊥AD交線段CE于點F,且當AC=3時,請直接寫出線段CF的長的最大值是  

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P從原點O出發(fā),沿x軸正半軸方向運動,速度為每秒1個單位長度,以P為直角頂點

第一象限內(nèi)作等腰RtAPB.設(shè)P點的運動時間為t秒.

1)填空:當t2時,點B的坐標為.

2)在P點的運動過程中,當ABx軸時,求t的值;

3)通過探索,發(fā)現(xiàn)無論P點運動到何處,點B始終在一直線上,試求出該直線的函數(shù)解析式.

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