Question

【題目】圖形既關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，又關(guān)于直線AC，BD對稱，AC=10，BD=6，已知點(diǎn)E，M是線段AB上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)O到EF，MN的距離分別為h1 ， h2 ， △OEF與△OGH組成的圖形稱為蝶形．
（1）求蝶形面積S的最大值；
（2）當(dāng)以EH為直徑的圓與以MQ為直徑的圓重合時，求h1與h2滿足的關(guān)系式，并求h1的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得四邊形ABCD是菱形．

∵EF∥BD，

∴△ABD∽△AEF，

∴ ，即

∴

所以當(dāng) 時，

（2）解：根據(jù)題意，得OE=OM．

如圖，作OR⊥AB于R，OB關(guān)于OR對稱線段為OS，

① 當(dāng)點(diǎn)E，M不重合時，則OE，OM在OR的兩側(cè)，易知RE=RM．

∵ ，

∴ ，

∴

由ML∥EK∥OB，

得 ∴ ，

即

∴ ，此時h1的取值范圍為 且 ，

②當(dāng)點(diǎn)E，M重合時，則h1=h2，此時h1的取值范圍為0＜h1＜5．

【解析】（1）由題意，得四邊形ABCD是菱形，根據(jù)EF∥BD，求證△ABD∽△AEF，然后利用其對邊成比例求得EF，然后利用三角形面積公式即可求得蝶形面積S的最大值．（2）根據(jù)題意，得OE=OM．作OR⊥AB于R，OB關(guān)于OR對稱線段為OS，①當(dāng)點(diǎn)E，M不重合時，則OE，OM在OR的兩側(cè)，可知RE=RM．利用勾股定理求得BR，由ML∥EK∥OB，利用平行線分線段求得 即可知h1的取值范圍；②當(dāng)點(diǎn)E，M重合時，則h1=h2 ， 此時可知h1的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對軸對稱的性質(zhì)的理解，了解關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上．