Question

（2013•湖州二模）如圖，點(diǎn)P，Q分別是邊長(zhǎng)為1cm的正方形ABCD的邊BC和對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從B出發(fā)，朝BC方向運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q從從A出發(fā)，朝AC方向運(yùn)動(dòng)，速度為

2

cm/s，只要有一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，兩點(diǎn)就停止動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），△APQ的面積為y（cm²）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍；
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使△APQ的面積為正方形ABCD的面積的六分之一？若能，求x值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于E，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠ACB=45°，然后判斷出△PCE是等腰直角三角形，然后表示出PC，并根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PE，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，根據(jù)時(shí)間=路程÷速度分別求出點(diǎn)P、點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C的時(shí)間即可得到x的取值范圍；
（2）根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元二次方程，然后利用根的判別式判定符合條件的點(diǎn)P、Q不存在．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于E，
∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠ACB=45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)P的速度為1cm/s，
∴PC=1-x，
∴PE=

2

2

PC=

2

2

（1-x），
∵點(diǎn)Q的速度為

2

cm/s，
∴AQ=

2

x，
∴△APQ的面積為y=

1

2

AQ•PE=

1

2

•

2

x•

2

2

（1-x），
=-

1

2

x²+

1

2

x，
∵正方形的邊長(zhǎng)為1，
∴AC=

2

×1=

2

，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)是時(shí)間為1÷1=1，
點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

2

÷

2

=1，
∴y=-

1

2

x²+

1

2

x（0≤x≤1）；

（2）根據(jù)題意得，-

1

2

x²+

1

2

x=

1

6

×1，
整理得，3x²-3x+1=0，
∵△=（-3）²-4×3×1=-3＜0，
∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴這樣的點(diǎn)不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根的判別式的應(yīng)用，（1）作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形并求出AQ邊上的高線是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．