Question

如圖，已知正方形OABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（2，0），B（2，2）．拋物線y=x²-mx+m²（m≠0）的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)P，交反比例函數(shù)y=（k＞0）圖象于點(diǎn)Q，連接OQ．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)m=k=2時(shí)，求證：△OPQ為等腰直角三角形；
（3）設(shè)反比例函數(shù)y=（k＞0）圖象交正方形OABC的邊BC、BA于M、N兩點(diǎn)，連接AQ、BQ，有S_△ABQ=4S_△APQ．
①當(dāng)M為BC邊的中點(diǎn)時(shí)，拋物線能經(jīng)過點(diǎn)B嗎？為什么？
②連接OM、ON、MN，試分析△OMN有可能為等邊三角形嗎？若可能，試求m+2k的值；若不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=x²-mx+m²=（x²-2mx）+m²=（x-m）²，
∴頂點(diǎn)為（m，0）；

（2）∵m=k=2，
∴k=4，
∴y=x²-2x+2；
y=，
如圖1，拋物線對(duì)稱軸為x=2，
∴點(diǎn)P（2，0）．∴Q（2，2），
連結(jié)OQ，∵OP=PQ=2，
∴△OPQ是等腰直角三角形；

（3）①如圖2，
∵正方形OABC，頂點(diǎn)A（2，0），B（2，2），
∴OA=AB=BC=2．
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，
∴CM=1，M（1，2）．
∴y=
∵S_△ABQ=4S_△APQ
∴AB•AP=4×AP•PQ，即AB=4PQ，
∴PQ=AB=×2=，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為或-（負(fù)值舍去），
∴P（4，0），代入y=x²-mx+m²
解得：m=4，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+8．
將B（2，2）代入y=x²-4x+8，成立．
∴當(dāng)M為BC邊的中點(diǎn)時(shí)，拋物線能經(jīng)過點(diǎn)B，
（其它方法可酌情給分）
②有可能
如圖3所示，當(dāng)△OMN為等邊三角形時(shí)，∠MON=60°，OM=ON，
在Rt△COM和Rt△AON中
，
∴Rt△COM≌Rt△AON，
∴∠COM=∠AON，
又∵∠COA=90°，∴∠COM+∠AON=30°，
∴∠COM=∠AON=15°．
作線段ON的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)D，連結(jié)DN，
則DO=DN．
∴∠DNO=∠DON=15°，∠DNA=30°．
設(shè)N（2，t），則DO=DN=2t，AD=t．
∴OA=DO+DA=2t+t=2，
解得：t=4-2，
∴N（2，4-2），
∴k=2（4-2）=8-4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=，
由①知，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為或-．
當(dāng)y=時(shí)，如圖4，=，
解得：x=16-8，
即m=16-8，
∴m+2k=16-8+2（8-4）=32-16，
當(dāng)y=-時(shí)，如圖5，=-，
解得：x=-16+8，
即m=-16+8，
∴m+2k=-16+8+2（8-4）=0．
分析：（1）利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）利用m=k=2得出k的值，進(jìn)而得出P，Q點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出△OPQ是等腰直角三角形；
（3）①根據(jù)S_△ABQ=4S_△APQ得出AB•AP=4×AP•PQ，即AB=4PQ，進(jìn)而得出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為或-（負(fù)值舍去），再求出m的值，將B點(diǎn)代入即可；
②首先判斷得出Rt△COM≌Rt△AON，進(jìn)而得出∠DNO=∠DON=15°，∠DNA=30°，求出N點(diǎn)坐標(biāo)，得出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得出m的值．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．