Question

如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，且拋物線經(jīng)過(guò)A(－1,0)、C(0，－3)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B.

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x＝1上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x＝1上的一動(dòng)點(diǎn)，求使∠PCB＝90°的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【解析】(1)根據(jù)題意，y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，且過(guò)A(－1,0)，C(0，－3)，可得

　解得

∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝x2－2x－3.

(2)由y＝x2－2x－3可得，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)B(3,0)如圖①，連接BC，交對(duì)稱(chēng)軸x＝1于點(diǎn)M.因?yàn)辄c(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸上，MA＝MB.所以直線BC與對(duì)稱(chēng)軸x＝1的交點(diǎn)即為所求的M點(diǎn)．

設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，由B(3,0)，C(0，－3)，解得y＝x－3，由x＝1，解得y＝－2.

故當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，－2)時(shí)，點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小．

(3)如圖②，設(shè)此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，m)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)F(1,0)．連接PC、PB，作PD垂直y軸于點(diǎn)D，則D(0，m)．

在Rt△CDP中，

CD＝|m－(－3)|＝|m＋3|，DP＝1，

∴CP2＝CD2＋DP2＝(m＋3)2＋1.

在Rt△PFB中，PF＝|m|，FB＝3－1＝2，

∴PB2＝PF2＋FB2＝m2＋4.

在Rt△COB中，CB2＝OB2＋OC2＝32＋32＝18.

當(dāng)∠PCB＝90°時(shí)，有CP2＋CB2＝PB2.

即(m＋3)2＋1＋18＝m2＋4.解得m＝－4.

∴使∠PCB＝90°的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，－4)．