如圖,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m(m>4),點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)(不與A、B重合),連結(jié)PD,過點(diǎn)P作PQ⊥PD,交直線BC于點(diǎn)Q.
(1)當(dāng)m=10時(shí),是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合?若存在,求出此時(shí)AP的長(zhǎng);若不存在,說明理由;
(2)連結(jié)AC,若PQ∥AC,求線段BQ的長(zhǎng)(用含m的代數(shù)式表示)
(3)若△PQD為等腰三角形,求以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出m的取值范圍.
(1)假設(shè)當(dāng)m=10時(shí),存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合(如圖) ∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°,∴∠APD+∠BPC=90°, 又∠ADP+∠APD=90°,∴∠BPC=∠ADP, 又∠B=∠A=90°,∴△PBC∽△DAP,∴, ∴,∴或8, ∴存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合,出此時(shí)AP的長(zhǎng)2或8. (2)如圖,∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠BPQ=∠ADP, ∴∠BAC=∠ADP,又∠B=∠DAP=90°,∴△ABC∽△DAP, ∴,即,∴. ∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠B=∠B, ∴△PBQ∽△ABC,,即, ∴. (3)由已知PQ⊥PD,所以只有當(dāng)DP=PQ時(shí), △PQD為等腰三角形(如圖),∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°, ∴△PBQ≌△DAP, ∴PB=DA=4,AP=BQ=, ∴以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為: S四邊形PQCD=S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP= ==16(4<≤8). |
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