Question

【題目】在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M為AB的中點，N為BC上一動點（不與點B重合），將△BMN沿直線MN折疊，使點B落在點E處，連接DE，CE，當△CDE為等腰三角形時，線段BN的長為_____．

Answer 1

【答案】或2

【解析】

分兩種情況：①如圖1，當DE=DC時，連接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性質(zhì)得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，

求出DG=，CG=，BG=BC+CG=3，由折疊的性質(zhì)得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，證明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，證出D、E、N三點共線，設(shè)BN=EN=x，則GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②如圖2，當CE=CD上，CE=CD=AD，此時點E與A重合，N與點C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等邊三角形，BN=BC=2（含CE=DE這種情況）．

解：分兩種情況，

①如圖1，當DE=DC時，連接DM，作DG⊥BC于G，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，∴DE=AD=2，

∵DG⊥BC，∴∠CDG=90°-60°=30°，

∴CG=CD=1，∴DG=CG=，BG=BC+CG=3，

∵M為AB的中點，∴AM=BM=1，

由折疊的性質(zhì)得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，

在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM ，DM＝DM，

∴△ADM≌△EDM（SSS），∴∠A=∠DEM=120°，

∴∠MEN+∠DEM=180°，∴D、E、N三點共線，

設(shè)BN=EN=x，則GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，

由勾股定理得：（3-x）+（） =（x+2），

解得：x=，，即BN=；

②當CE=CD時，CE=CD=AD，此時點E與A重合，N與點C重合，如圖2所示：

CE=CD=DE=DA，△CDE是等邊三角形，BN=BC=2（符合題干要求）；

綜上所述，當△CDE為等腰三角形時，線段BN的長為或2；

故答案為或2．