【題目】如圖1在平面直角坐標系中.等腰Rt△OAB的斜邊OA在x軸上.P為線段OB上﹣動點(不與O,B重合).過P點向x軸作垂線.垂足為C.以PC為邊在PC的右側作正方形PCDM.OP= t、OA=3.設過O,M兩點的拋物線為y=ax2+bx.其頂點N(m,n)

(1)寫出t的取值范圍 , 寫出M的坐標:();
(2)用含a,t的代數(shù)式表示b;
(3)當拋物線開向下,且點M恰好運動到AB邊上時(如圖2)
①求t的值;
②若N在△OAB的內部及邊上,試求a及m的取值范圍.

【答案】
(1)解:0<t< ;2t,t
(2)

解:把M(2t,t)代入到y(tǒng)=ax2+bx中得:

t=4at2+2tb,

1=4at+2b,

b= ;


(3)

解:①如圖2,∵OB= ,OP= t,

∴PB= t,

∵PM∥OA,

= ,

∴t=1;

②由(2)得:b= = ﹣2a,即4a=1﹣2b,

頂點N(﹣ ,﹣ )(a<0,b>0),

i)當0≤﹣ 時,即a≤﹣ 時,

≥﹣ ,解得a≥﹣

∴﹣ ≤a≤﹣ ,

ii)當 <﹣ ≤3時,即﹣ <a≤﹣ ,

3﹣(﹣ )≥﹣

b2﹣4b+3≤0,

1≤b≤3,

1≤ ﹣2a≤3,﹣ ≤a≤﹣ ,

則﹣ <a≤﹣

綜上所述:a的取值為:﹣ ≤a≤﹣ ,

m=﹣ =1﹣

得:4am=4a﹣1,a=﹣ =

≤﹣ ,

≤m≤2.


【解析】 解:(1)如圖1,∵△OAB為等腰直角三角形,OA=3,
∴OB=AB= = ,
∵P為線段OB上﹣動點(不與O,B重合),
∴0< t<
∴0<t< ,
∵四邊形PCDM為正方形,
∴∠PCO=90°,
∵∠POC=45°,
∴△POC為等腰直角三角形,
∵OP= t,
∴PC=OC=t,
∴OD=t+t=2t,
∴M(2t,t);
【考點精析】掌握二次函數(shù)的圖象是解答本題的根本,需要知道二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點.

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