Question

已知正方形ABCD的邊長AB=k（k是正整數(shù)），正△PAE的頂點(diǎn)P在正方形內(nèi)，頂點(diǎn)E在邊AB上，且AE="1." 將△PAE在正方形內(nèi)按圖1中所示的方式，沿著正方形的邊AB、BC、CD、DA、AB、……連續(xù)地翻轉(zhuǎn)n次，使頂點(diǎn)P第一次回到原來的起始位置.
（1）如果我們把正方形ABCD的邊展開在一直線上，那么這一翻轉(zhuǎn)過程可以看作是△PAE在直線上作連續(xù)的翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng). 圖2是k=1時(shí)，△PAE沿正方形的邊連續(xù)翻轉(zhuǎn)過程的展開示意圖. 請(qǐng)你探索：若k=1，則△PAE沿正方形的邊連續(xù)翻轉(zhuǎn)的次數(shù)n=      時(shí)，頂點(diǎn)P第一次回到原來的起始位置.

（2）若k=2，則n=      時(shí)，頂點(diǎn)P第一次回到原來的起始位置；若k=3，則n=      時(shí)，頂點(diǎn)P第一次回到原來的起始位置.
（3）請(qǐng)你猜測：使頂點(diǎn)P第一次回到原來的起始位置的n值與k之間的關(guān)系（請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示n）.

Answer 1

（1）12次      
（2）24次；12次
（3）當(dāng)k是3的倍數(shù)時(shí)，n=4k；當(dāng)k不是3的倍數(shù)時(shí)，n=12k.

正△PAE的頂點(diǎn)P在正方形內(nèi)按圖1中所示的方式連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)P第一次回到原來的起始位置，實(shí)際上正方形周長和與三角形的周長和相等，正方形的周長=4k，三角形的周長=3，即找4k，3的最小公倍數(shù)，由此求出k=1，2，3時(shí)n的值；故當(dāng)k是3的倍數(shù)時(shí)，n=4k；當(dāng)k不是3的倍數(shù)時(shí)，n=12k．